第 2 章 关系数据库基本原理

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图表渲染中…

2.1 关系数据库概述

关系数据模型用二维表格描述实体及实体之间的联系。一个关系数据库模式是一组关系模式的集合。

基本术语

术语	含义
关系	一张二维表
元组	表中的一行，也称记录
属性	表中的一列
属性名	列名
属性值	某一行在某一列上的取值
域	属性允许取值的集合
关系模式	对关系结构的描述，是“型”
关系	符合关系模式的一组元组，是“值”
元数据	描述数据库结构的数据，如表名、列名、列类型、约束

关系模式可写作：

$$R(A_1,A_2,...,A_n)$$

其中 $R$ 是关系名，$A_i$ 是属性名。

码与关键字

概念	定义	复习要点
候选码	能唯一标识元组的极小属性组	“唯一”和“极小”缺一不可
主码	从候选码中选定的一个	用标识行、建立联系、组织存储和快速检索
外码	一个关系中的属性引用另一个关系的候选码或主码	是参照完整性的基础
全码	关系模式的全部属性构成候选码	所有属性都是主属性
主属性	包含在任一候选码中的属性	判断 2NF/3NF/BCNF 时常用
非主属性	不包含在任何候选码中的属性	规范化主要关注其依赖情况
代理键	无业务含义、专门用作主键的字段	MySQL 常用 AUTO_INCREMENT

主码选择建议：

• 优先选择取值简单、稳定、长度短的属性。
• 不建议轻易使用复合主键，维护和引用成本较高。
• 代理键适合业务键复杂或可能变化的场景。
• 主码应避免包含可变业务信息。

数据库中关系的类型

类型	说明
基本表	实际存在并存储数据的表
查询表	查询结果或查询过程中产生的临时表
视图表	由基本表或其他视图导出的虚表，不一定实际存储数据

关系的性质

• 每个关系中的元组表示某类实体或联系的数据。
• 元组顺序无关，表中行的物理顺序不影响关系含义。
• 属性顺序在理论上也不重要，但实现中列顺序会影响显示和部分操作。
• 同一属性的分量必须同质，来自同一域。
• 同一关系中属性名不能重复。
• 每个分量应是不可再分的原子值，这是第一范式的基础。

2.2 关系代数

关系代数是一种抽象查询语言，用对关系的运算表达查询。运算对象是关系，运算结果仍然是关系，因此可以嵌套组合。

关系代数的基本运算通常包括：

• 并
• 差
• 笛卡尔积
• 选择
• 投影

交、连接、除等可以由基本运算导出，但它们在表达查询时非常重要。

形式化基础

域是具有相同数据类型的一组值。笛卡尔积是多个域所有可能组合的集合：

$$D_1\times D_2\times ...\times D_n=\{(d_1,d_2,...,d_n)\mid d_i\in D_i\}$$

关系是若干域的笛卡尔积的有限子集。

传统集合运算

并、差、交要求两个关系具有相同的目，并且对应属性来自相同域。

运算	记号	含义
并	$R\cup S$	属于 $R$ 或属于 $S$ 的元组
差	$R-S$	属于 $R$ 且不属于 $S$ 的元组
交	$R\cap S$	同时属于 $R$ 和 $S$ 的元组
笛卡尔积	$R\times S$	$R$ 中每个元组与 $S$ 中每个元组拼接

交可以由差表示：

$$R\cap S=R-(R-S)$$

选择

选择从行的角度筛选元组。

$${\sigma }_{\theta }(R)$$

含义：从关系 $R$ 中选出满足条件 $\theta$ 的元组。

例：查询年龄大于 18 的学生：

$${\sigma }_{Sage>18}(Student)$$

SQL 对应：

SELECT *
FROM student
WHERE sage > 18;

投影

投影从列的角度选出属性。

$${\pi }_{A_1,A_2,...,A_k}(R)$$

含义：保留关系 $R$ 中指定属性，去掉其他列。理论关系代数中的投影会去重。

例：查询学生姓名和所在系：

$${\pi }_{Sname,Sdept}(Student)$$

SQL 对应：

SELECT DISTINCT sname, sdept
FROM student;

如果不希望去重，SQL 使用普通 SELECT。

重命名

重命名用于给关系或属性换名，常用于自连接和中间表达式。

$${\rho }_{NewName}(R)$$

连接

连接可以理解为“笛卡尔积 + 选择 + 必要的投影”。

$\theta$ 连接

$$R{\bowtie }_{\theta }S$$

含义：从 $R\times S$ 中选出满足条件 $\theta$ 的元组。

等值连接

当连接条件中的比较运算符是等号时，称为等值连接。

SELECT *
FROM student s
JOIN sc ON s.sno = sc.sno;

自然连接

自然连接是一种特殊等值连接：

• 自动按同名属性做等值连接。
• 结果中去掉重复的同名属性列。

自然连接同时涉及行筛选和列去重，容易和普通等值连接混淆。

除运算

除运算用于表达“全部满足”“对于所有”的查询。若 $R(X,Y)$ 与 $S(Y)$，则：

$$R÷S$$

结果是那些 $X$ 值，使得对 $S$ 中每个 $Y$，$(X,Y)$ 都在 $R$ 中出现。

典型问题：查询选修了所有课程的学生。

复习技巧：看到“所有”“全部”“每一门”时，考虑除法、NOT EXISTS 双重否定或分组计数。

2.3 函数依赖与规范化

规范化是通过分析函数依赖、分解关系模式来减少冗余和异常的过程。

操作异常

设计不良的关系模式通常会出现：

• 插入异常：因为缺少某些码值或相关信息，无法插入本应可保存的信息。
• 删除异常：删除某条事实时，意外丢失另一条事实。
• 更新异常：同一事实重复存储，更新时必须多处同步，否则不一致。
• 数据冗余：相同信息重复出现。

函数依赖

设 $R(A_1,A_2,...,A_n)$ 是关系模式，$X$ 和 $Y$ 是属性集。如果任意两个元组在 $X$ 上取值相同，则在 $Y$ 上取值也必相同，则称 $X$ 函数决定 $Y$，记为：

$$X\to Y$$

注意：

• 函数依赖是语义范畴的概念，不能只从某个当前实例推断。
• 它必须在关系模式的所有合法实例上成立。
• 设计者可以通过业务规则强制某些函数依赖成立。

函数依赖类型

类型	定义	判断
平凡依赖	$X\to Y$ 且 $Y\subseteq X$	总是成立
非平凡依赖	$X\to Y$ 且 $Y⊈X$	有实际约束意义
完全函数依赖	$X\to Y$，但 $X$ 任一真子集都不能决定 $Y$	用于判断 2NF
部分函数依赖	$X\to Y$，且 $X$ 的某个真子集也能决定 $Y$	违反 2NF 的常见原因
传递函数依赖	$X\to Y$，$Y\to Z$，且 $Y$ 不决定 $X$	违反 3NF 的常见原因

候选码与属性闭包

属性集 $X$ 关于函数依赖集 $F$ 的闭包记作 $X^{+}$，表示由 $X$ 能推出的所有属性。

求候选码的思路：

1. 从必须出现在码中的属性开始。
2. 根据函数依赖反复扩展闭包。
3. 若 $X^{+}$ 包含关系模式全部属性，则 $X$ 是超码。
4. 若去掉 $X$ 中任一属性后不再是超码，则 $X$ 是候选码。

Armstrong 公理

Armstrong 公理是函数依赖推理的基础。

规则	表达	含义
自反律	若 $Y\subseteq X$，则 $X\to Y$	平凡依赖
增广律	若 $X\to Y$，则 $XZ\to YZ$	两边加同一属性集
传递律	若 $X\to Y$ 且 $Y\to Z$，则 $X\to Z$	依赖可传递

常用推论：

• 合并律：若 $X\to Y$ 且 $X\to Z$，则 $X\to YZ$。
• 分解律：若 $X\to YZ$，则 $X\to Y$ 且 $X\to Z$。
• 伪传递律：若 $X\to Y$ 且 $WY\to Z$，则 $WX\to Z$。

最小覆盖

函数依赖集 $F$ 的最小覆盖也称 canonical cover。通常要求：

• 每个函数依赖右部只有一个属性。
• 左部没有多余属性。
• 依赖集中没有多余函数依赖。
• 与原依赖集等价。

最小覆盖常用于 3NF 分解和依赖保持分析。

范式

范式按规范化程度由低到高：

$$5NF\subseteq 4NF\subseteq BCNF\subseteq 3NF\subseteq 2NF\subseteq 1NF$$

课程重点通常是 1NF、2NF、3NF、BCNF。

第一范式 1NF

关系模式 $R$ 的所有属性都不能再分解为更基本的数据单位，则 $R\in 1NF$。

通俗理解：表中无表，每个单元格是原子值。

不满足 1NF 的例子：工资 字段内部又包含 基本工资 和 岗位工资。应拆成两个属性。

第二范式 2NF

在满足 1NF 的基础上，每个非主属性都完全函数依赖于每个候选码，则满足 2NF。

2NF 解决：非主属性对复合码的部分依赖。

典型例子：

S-L-C(Sno, Sdept, Sloc, Cno, Grade)
候选码：(Sno, Cno)
依赖：
  (Sno, Cno) -> Grade
  Sno -> Sdept
  Sdept -> Sloc

Sdept、Sloc 只依赖于 Sno，不依赖完整复合码 (Sno, Cno)，因此不满足 2NF。

分解为：

SC(Sno, Cno, Grade)
S-L(Sno, Sdept, Sloc)

第三范式 3NF

在满足 2NF 的基础上，所有非主属性都不传递依赖于任何候选码，则满足 3NF。

3NF 解决：非主属性对候选码的传递依赖。

继续上例：

S-L(Sno, Sdept, Sloc)
Sno -> Sdept
Sdept -> Sloc
所以 Sno -> Sloc 是传递依赖

分解为：

S-D(Sno, Sdept)
D-L(Sdept, Sloc)

BCNF

若关系模式 $R$ 的每个非平凡函数依赖 $X\to Y$ 中，$X$ 都包含候选码，则 $R$ 满足 BCNF。

BCNF 比 3NF 更严格。3NF 允许某些决定因素不是候选码但右部是主属性，BCNF 不允许。

典型例子：

STJ(S, T, J)
语义：
  每位教师只教一门课：T -> J
  某学生选某门课对应固定教师：(S, J) -> T
  某学生选某教师对应固定课程：(S, T) -> J
候选码：(S,J), (S,T)

因为 T -> J 的左部 T 不是候选码，所以不满足 BCNF；但由于不存在非主属性，它可以满足 3NF。

关系模式分解

分解的目标：

• 消除部分依赖。
• 消除传递依赖。
• 尽量减少冗余和异常。
• 尽量保持无损连接和依赖保持。

常见分解策略：

问题	分解方向
属性非原子	拆分属性，使其满足 1NF
非主属性部分依赖复合码	将部分依赖的属性拆到新表
非主属性传递依赖候选码	将中间决定因素和被决定属性拆到新表
决定因素不是候选码	分解以逼近或达到 BCNF

2.4 完整性约束

关系模型允许定义三类完整性约束。

实体完整性

实体完整性要求基本关系的主码不能取空值，并且主码值能唯一标识元组。

规则：

• 主码中的每个属性都不能为 NULL。
• 主码值必须唯一。
• 若主码由多个属性组成，则每个组成属性都不能为 NULL。

参照完整性

若关系 $R$ 中属性组 $F$ 是外码，对应关系 $S$ 的主码 $K_s$，则 $R$ 中每个元组在 $F$ 上的值必须：

• 为空值，表示暂不引用任何实体；
• 或者等于 $S$ 中某个元组的主码值。

通俗说：外键值要么为空，要么必须在被引用表中存在。

用户自定义完整性

用户自定义完整性是具体业务领域要求的数据约束，例如：

• 年龄必须大于 0。
• 成绩必须在 0 到 100 之间。
• 订单金额必须非负。
• 邮箱格式必须合法。

在 MySQL 中可通过 NOT NULL、UNIQUE、CHECK、DEFAULT、触发器和应用逻辑共同实现。

本章易错点

• 候选码必须是“极小”的，能唯一标识但不极小的是超码。
• 主属性是出现在任一候选码中的属性，不只是主码中的属性。
• 投影在关系代数中默认去重，SQL 普通 SELECT 不去重。
• 自然连接会去掉重复同名列，等值连接通常不会自动去重。
• 函数依赖不能只看当前表里的几行数据，必须看业务语义。
• 2NF 针对非主属性对复合候选码的部分依赖。
• 3NF 针对非主属性对候选码的传递依赖。
• BCNF 要求每个非平凡依赖的决定因素都是超码。

自测题

1. 什么是候选码？为什么要强调“极小”？
2. 写出选择、投影、连接、除分别解决什么类型的查询。
3. 给定函数依赖集，如何用属性闭包判断候选码？
4. 解释部分函数依赖和传递函数依赖，并各举一个例子。
5. 为什么满足 3NF 的关系模式不一定满足 BCNF？
6. 实体完整性和参照完整性分别约束什么？