附录B 题型图谱与作业定位

本附录不逐题定位题号，而是按讲义章节和作业时间顺序整理题型、解法入口和易错点。

1. 作业材料的大致课程映射

作业文件	大致对应内容	使用方式
作业9.26.pdf	事件、计数、古典概型	练样本空间选择、排列组合、补事件
作业10.10.jpg	概率空间、随机变量、分布函数	练分布律、分布函数、基本分布
作业10.17.pdf	条件概率、全概率、Bayes、独立性	练分割、后验概率、独立性判别
作业10.24.pdf	期望、示性函数、变量替换	练 $E{1}_A=P(A)$、离散期望
作业10.31.pdf	方差、协方差、不等式	练 $E{\xi }^2-(E\xi {)}^2$、Chebyshev
作业11.7.pdf	连续型随机变量	练密度归一化、分布函数、连续期望
作业11.14.pdf	随机向量、联合密度、边缘密度	练积分区域、独立性、边缘化
作业11.21.pdf	变量变换、和与商的分布	练 Jacobian、卷积、比率分布
作业11.28.pdf	特征函数、母函数	练独立和、唯一性、常见分布识别
作业12.5.pdf、补交12.5.pdf	收敛类型、大数定律	练 Chebyshev、Borel-Cantelli
作业12.12.pdf	中心极限定理	练标准化、正态近似
作业12.19.pdf	后半课程综合	练特征函数、极限定理和分布变换综合

这个映射按文件日期和讲义进度给出，具体题目顺序可能有偏差。

2. 第 1 章题型：事件与古典概型

题型 1：直接计数

入口：

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

步骤：

1. 明确样本空间是否有序。
2. 判断是否等可能。
3. 分子分母使用同一种计数口径。

常见错误：

• 分母用排列，分子用组合。
• 误把“点数和”当成等可能样本点。

题型 2：至少一个

入口：

$$P(\text{至少一个})=1-P(\text{一个也没有}).$$

典型模型：

• 生日问题。
• 至少一次成功。
• 至少一个人拿到自己的物品。

题型 3：容斥和错排

入口： $P\left(\bigcup _i{A}_i\right)=\sum _{i}P(A_i)-\sum _{i<j}P(A_i{A}_j)+\cdots .$

错排公式：

$$D_n=n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}.$$

恰好 $r$ 个固定点：

$$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})D_{n-r}}{n!}.$$

3. 第 2 章题型：随机变量与分布函数

题型 1：由分布律写分布函数

入口：

$$F(x)=\sum _{x_k\le x}{p}_k.$$

注意阶梯函数的右连续性。

题型 2：由分布函数求概率

入口：

$$P(a<\xi \le b)=F(b)-F(a).$$

点概率：

$$P(\xi =a)=F(a)-F(a-).$$

题型 3：检验分布函数

检查：

• 单调不减。
• 右连续。
• 左端极限 $0$。
• 右端极限 $1$。

4. 第 3 章题型：条件概率、Bayes 和独立性

题型 1：条件概率定义

入口：

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

适合：

• 已知条件事件明确。
• 样本空间缩小后重新计数。

题型 2：全概率公式

入口：

$$P(A)=\sum _{i}P(B_i)P(A\mid B_i).$$

分割 $B_i$ 通常是：

• 产品来源。
• 病因类别。
• 抽取阶段。
• 初始状态。

题型 3：Bayes 公式

入口：

$$P(B_j\mid A)=\frac{P(B_j)P(A\mid B_j)}{\sum _{i}P(B_i)P(A\mid B_i)}.$$

常见错误：

• 分母只写目标原因的一项。
• 把 $P(A\mid B)$ 当作 $P(B\mid A)$。

题型 4：独立性判别

事件：

$$P(A\cap B)=P(A)P(B).$$

随机变量：

$$F_{\xi ,\eta }(x,y)=F_{\xi }(x)F_{\eta }(y).$$

离散变量：

$$P(\xi =x_i,\eta =y_j)=P(\xi =x_i)P(\eta =y_j).$$

5. 第 4 章题型：期望、方差与不等式

题型 1：示性函数法

适合计数型随机变量：

$$\xi =\sum _{i=1}^n{1}_{A_i}.$$

期望：

$$E\xi =\sum _{i=1}^{n}P(A_i).$$

优点：不需要知道 $\xi$ 的完整分布。

题型 2：变量替换公式

离散：

$$E\phi (\xi )=\sum _k\phi (x_k)p_k.$$

连续：

$$E\phi (\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\phi (x)f(x)dx.$$

题型 3：方差计算

入口：

$$Var(\xi )=E{\xi }^2-(E\xi {)}^2.$$

随机和： $Var\left(\sum _i{\xi }_i\right)=\sum _{i}Var({\xi }_i)+2\sum _{i<j}Cov({\xi }_i,{\xi }_j).$

若独立或两两不相关，协方差项为 $0$。

题型 4：不等式估计

Markov：

$$P(\xi \ge a)\le \frac{E\xi }{a},\xi \ge 0.$$

Chebyshev：

$$P(|\xi -E\xi |\ge \epsilon )\le \frac{Var(\xi )}{{\epsilon }^2}.$$

Cauchy-Schwarz：

$$|E\xi \eta |\le \sqrt{E{\xi }^2}\sqrt{E{\eta }^2}.$$

6. 第 5 章题型：连续分布与随机向量

题型 1：密度归一化

若密度含未知常数 $c$，先解：

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1.$$

再求分布函数、概率或期望。

题型 2：分段分布函数

步骤：

1. 按密度支撑分段。
2. 对 $x$ 落在不同区间分别积分。
3. 检查 $F$ 连续、右连续、极限为 $0$ 和 $1$。

题型 3：联合密度求边缘密度

入口：

$$f_{\xi }(x)=\int f(x,y)dy.$$

积分限由联合支撑区域决定。先画图再积分。

题型 4：判断独立

检查：

1. 支撑区域是否是直积。
2. 联合密度是否能分解为 $g(x)h(y)$。
3. 分解后是否与边缘密度一致。

题型 5：变量变换

步骤：

1. 设 $u=g(x,y)$，补 $v=h(x,y)$。
2. 解逆变换 $x=x(u,v)$，$y=y(u,v)$。
3. 求：

$$\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|.$$

4. 写：

$$f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|.$$

5. 对 $v$ 积分得到 $f_U(u)$。

7. 第 6 章题型：母函数与特征函数

题型 1：用母函数识别分布

常见识别：

$$(1-p+ps{)}^n\Rightarrow B(n,p).$$$$e^{\lambda (s-1)}\Rightarrow P(\lambda ).$$

题型 2：独立和

母函数：

$$G_{\sum _i{\xi }_i}(s)=\prod _i{G}_{{\xi }_i}(s).$$

特征函数：

$${\phi }_{\sum _i{\xi }_i}(t)=\prod _i{\phi }_{{\xi }_i}(t).$$

题型 3：用特征函数证明同分布

路线：

1. 求两个随机变量的特征函数。
2. 证明二者相等。
3. 用唯一性定理推出同分布。

8. 第 7 章题型：收敛与极限定理

题型 1：依概率收敛

入口：

$$P(|{\xi }_n-\xi |\ge \epsilon )\to 0.$$

若能求方差，常用 Chebyshev：

$$P(|{\xi }_n-E{\xi }_n|\ge \epsilon )\le \frac{Var({\xi }_n)}{{\epsilon }^2}.$$

题型 2：几乎处处收敛

入口：

若：

$$\sum _{n}P(|{\xi }_n-\xi |\ge \epsilon )<\mathrm{\infty },$$

则：

$${\xi }_n\to \xi a.s.$$

题型 3：大数定律

样本均值：

$${\overline{\xi }}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\xi }_i.$$

若独立同分布且 $E{\xi }_i=\mu$，通常结论为：

$${\overline{\xi }}_n\to \mu$$

以依概率或几乎处处意义成立，取决于定理条件。

题型 4：中心极限定理

标准化：

$$\frac{S_n-E{S}_n}{\sqrt{Var(S_n)}}.$$

独立同分布情形：

$$\frac{\sum _{i=1}^n{\xi }_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

二项正态近似：

$$\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1).$$

连续性修正常用于：

$$P(a\le X\le b).$$

9. 综合题的拆解顺序

1. 先判断对象是事件、随机变量、随机向量还是随机序列。
2. 如果是事件，优先找样本空间、补事件、分割或独立性。
3. 如果是随机变量，优先求分布函数或密度。
4. 如果求期望，优先用变量替换公式或示性函数分解。
5. 如果是二维连续变量，先画支撑区域。
6. 如果是和或比值，考虑卷积或变量变换。
7. 如果是极限，先判断需要哪种收敛，再选不等式、Borel-Cantelli、特征函数或 CLT。

10. 常见检查清单

• 概率是否在 $[0,1]$。
• 分布律是否求和为 $1$。
• 密度是否积分为 $1$。
• 分布函数是否右连续。
• 方差是否非负。
• 独立性是否真的给出，而不是只给出不相关。
• 极限定理条件是否满足：独立、同分布、可积、方差有限、Lindeberg 或 Lyapunov。
• 正态近似是否完成中心化和标准化。