01 事件与概率

本章把随机现象翻译成集合问题，再在有限等可能模型下用计数求概率。讲义中配对问题、生日问题、二项分布和超几何分布都是这一章的核心例子。

1. 随机试验、样本空间与事件

随机试验的特点：

可以在相同条件下重复。
每次结果事先不能确定。
所有可能结果在试验前可以描述。

样本空间记为 $Ω$ ，它的元素 $ω$ 称为样本点。事件是样本空间的子集，记为 $A, B, \dots$ 。

常用事件运算：

语言	集合表达	含义
$A$ 发生	$ω \in A$	结果属于 $A$
非 $A$	$A^{c}$	$A$ 不发生
$A$ 且 $B$	$A \cap B$	两者同时发生
$A$ 或 $B$	$A \cup B$	至少一个发生
$A$ 蕴含 $B$	$A \subset B$	$A$ 发生则 $B$ 发生
互不相容	$A \cap B = \emptyset$	不能同时发生

De Morgan 公式：

(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}, (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} .

对事件列 ${A_{n}}$ ：

{(⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n})}^{c} = ⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{c}, {(⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n})}^{c} = ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}^{c} .

2. 概率的基本性质

概率是事件的数值化刻画。初等阶段可以先记住三条：

0 \leq P (A) \leq 1, P (Ω) = 1, A \cap B = \emptyset \Rightarrow P (A \cup B) = P (A) + P (B) .

由此推出：

P (A^{c}) = 1 - P (A) .

若 $A \subset B$ ，则：

P (B - A) = P (B) - P (A), P (A) \leq P (B) .

两个事件的加法公式：

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .

有限个事件的容斥公式：

P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i} P (A_{i}) - \sum_{i < j} P (A_{i} \cap A_{j}) + \sum_{i < j < k} P (A_{i} \cap A_{j} \cap A_{k}) - \dots + (- 1)^{n + 1} P (⋂_{i = 1}^{n} A_{i}) .

上界常用并集界：

P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}) .

这个不等式在估计“至少一个坏事件发生”的概率时非常常用。

3. 古典概型

古典概型的两个条件：

$Ω$ 有限。
每个样本点等可能。

于是：

P (A) = \frac{| A |}{| Ω |} .

古典概型的解题核心不是概率公式，而是把 $| Ω |$ 和 $| A |$ 数对。

基本计数方法：

方法	公式	使用场景
加法原理	$m + n$	分类互斥
乘法原理	$m n$	分步完成
排列	$P_{n}^{k} = \frac{n!}{(n - k)!}$	有顺序抽取
组合	$C_{n}^{k} = (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$	无顺序抽取
可重复排列	$n^{k}$	每步有 $n$ 种选择
多项分配	$\frac{n!}{n_{1}! \dots n_{r}!}$	分成 $r$ 类，类内无序

选择样本空间时要让“等可能”成立。比如抽牌问题中，“先抽第一张再抽第二张”的有序样本空间和“直接抽两张”的无序样本空间都可以，但分子分母必须使用同一套空间。

4. 配对问题

典型问题： $n$ 个人各自有一顶帽子，随机打乱后发回，求没有人拿到自己帽子的概率。

样本空间大小：

| Ω | = n! .

设 $A_{i}$ 为第 $i$ 个人拿到自己帽子。没有人拿对是：

⋂_{i = 1}^{n} A_{i}^{c} .

错排数记为 $D_{n}$ 。由容斥公式：

D_{n} = n! \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!} .

所以没有人配对成功的概率为：

P (无人拿对) = \frac{D_{n}}{n!} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- 1)^{k}}{k!} \to e^{- 1} .

至少一人拿对：

P (至少一人拿对) = 1 - \frac{D_{n}}{n!} \to 1 - e^{- 1} .

题型要点：

“至少一个”常用补事件。
“恰好 $r$ 个拿对”先选出拿对的人，再让其余人错排：

P (恰好 r 人拿对) = \frac{(\binom{n}{r}) D_{n - r}}{n!} .

5. 生日问题

典型问题： $n$ 个人生日独立且均匀分布在 365 天，求至少两人同生日的概率。

补事件是所有生日都不同：

P (生日全不同) = \frac{365 \cdot 364 \dots (365 - n + 1)}{365^{n}} = \frac{(365)_{n}}{365^{n}} .

因此：

P (至少两人同生日) = 1 - \frac{(365)_{n}}{365^{n}} .

当 $n$ 不太大时，可以用近似：

\frac{(365)_{n}}{365^{n}} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - \frac{k}{365}) \approx \exp (- \frac{n (n - 1)}{2 \cdot 365}) .

所以至少两人同生日的近似概率：

P (至少两人同生日) \approx 1 - \exp (- \frac{n (n - 1)}{730}) .

这个问题的直觉陷阱是低估“配对数量”。 $n$ 个人之间有 $(\binom{n}{2})$ 对，只要任意一对相同就发生事件。

6. 二项分布

如果试验重复 $n$ 次，每次成功概率为 $p$ ，失败概率为 $q = 1 - p$ ，且各次独立，则成功次数 $ξ$ 满足二项分布：

P (ξ = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n .

记作：

ξ \sim B (n, p) .

二项分布来自“有放回、独立、每次两种结果”的模型。

归一化检查：

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} = (p + q)^{n} = 1.

常见题型：

恰好成功 $k$ 次。
至少成功一次： $1 - q^{n}$ 。
成功次数落在区间： $\sum_{k = a}^{b} (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k}$ 。
用二项分布近似抽样概率，前提是总体大、抽样比例小。

7. 超几何分布

总体中有 $N$ 个对象，其中 $M$ 个为“成功类”，不放回抽取 $n$ 个，抽中成功类个数为 $ξ$ ，则：

P (ξ = k) = \frac{(\binom{M}{k}) (\binom{N - M}{n - k})}{(\binom{N}{n})} .

取值范围要同时满足：

max (0, n - (N - M)) \leq k \leq min (n, M) .

记作：

ξ \sim H (N, M, n) .

超几何分布来自“不放回、抽样之间相关”的模型。

和二项分布的区别：

模型	抽样方式	每次成功概率	分布
二项分布	有放回或独立重复	不变	$B (n, p)$
超几何分布	不放回	会改变	$H (N, M, n)$

当 $N$ 很大、 $n / N$ 很小时，超几何分布可近似为二项分布：

H (N, M, n) \approx B (n, \frac{M}{N}) .

8. 事件题的标准路线

明确随机试验。
选择样本空间，检查等可能。
把目标事件写成集合运算。
判断用直接计数、补事件、容斥还是递推。
写出分子分母，并检查取值范围。

常用判断：

看到“至少一个”，优先考虑补事件。
看到“没有任何一个”，考虑容斥或错排。
看到“恰好 $k$ 个”，考虑先选位置，再安排剩余对象。
看到“不放回”，优先考虑组合和超几何。
看到“独立重复”，优先考虑二项分布。

9. 本章易错点

样本空间不等可能。例如“两枚骰子点数和为 $2, \dots, 12$ ”不是等可能样本空间。
有序和无序混用。分子用排列、分母用组合会导致错误。
忘记取值范围。超几何分布的 $k$ 不能只写 $0 \leq k \leq n$ 。
“至少一个”直接相加。事件不互斥时不能简单相加。
错排问题中， $D_{n}$ 不是 $n! - n$ 。

10. 本章小结

第 1 章建立的是概率论的入口语言：随机试验给出样本空间，事件是样本空间的子集，概率是事件的数值。古典概型把概率问题转为计数问题，而配对问题和生日问题说明了补事件、容斥和近似估计的威力。二项分布与超几何分布则是后续随机变量分布的两个最早模型。

01 事件与概率 ​

1. 随机试验、样本空间与事件 ​

2. 概率的基本性质 ​

3. 古典概型 ​

4. 配对问题 ​

5. 生日问题 ​

6. 二项分布 ​

7. 超几何分布 ​

8. 事件题的标准路线 ​

9. 本章易错点 ​

10. 本章小结 ​