附录A 常见分布速查表

本附录汇总课程中反复出现的分布。参数化方式与正文保持一致：Gamma 分布采用形状 $r$、率参数 $\lambda$，即密度中含 $e^{-\lambda x}$。

1. 离散分布

分布	记号	取值	分布律	期望	方差
单点分布	$\xi =a$ a.s.	$\{a\}$	$P(\xi =a)=1$	$a$	$0$
Bernoulli	$Bernoulli(p)$	$0,1$	$P(\xi =1)=p$	$p$	$p(1-p)$
二项	$B(n,p)$	$0,\dots ,n$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
超几何	$H(N,M,n)$	合法整数 $k$	$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$	$nM/N$	$n\frac{M}{N}(1-\frac{M}{N})\frac{N-n}{N-1}$
Poisson	$P(\lambda )$	$0,1,\dots$	$e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$
几何	$Geom(p)$	$1,2,\dots$	$(1-p{)}^{k-1}p$	$1/p$	$(1-p)/p^2$
离散均匀	$U\{1,\dots ,n\}$	$1,\dots ,n$	$1/n$	$(n+1)/2$	$(n^2-1)/12$

超几何分布的合法范围：

$$max(0,n-(N-M))\le k\le min(n,M).$$

2. 连续分布

分布	记号	支撑	密度	期望	方差
均匀	$U(a,b)$	$(a,b)$	$\frac{1}{b-a}$	$(a+b)/2$	$(b-a{)}^2/12$
指数	$Exp(\lambda )$	$(0,\mathrm{\infty })$	$\lambda e^{-\lambda x}$	$1/\lambda$	$1/{\lambda }^2$
正态	$N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\mathbb{R}$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}$	$\mu$	${\sigma }^2$
Gamma	$\mathrm{\Gamma }(r,\lambda )$	$(0,\mathrm{\infty })$	$\frac{{\lambda }^r}{\mathrm{\Gamma }(r)}{x}^{r-1}{e}^{-\lambda x}$	$r/\lambda$	$r/{\lambda }^2$
${\chi }^2$	${\chi }_n^2$	$(0,\mathrm{\infty })$	$\mathrm{\Gamma }(n/2,1/2)$	$n$	$2n$
Cauchy	$Cauchy(0,1)$	$\mathbb{R}$	$\frac{1}{\pi (1+x^2)}$	不存在	不存在
Beta	$Beta(\alpha ,\beta )$	$(0,1)$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{x}^{\alpha -1}(1-x{)}^{\beta -1}$	$\frac{\alpha }{\alpha +\beta }$	$\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)}$

3. 分布函数

指数分布：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0,\\ 1-e^{-\lambda x},& x>0.\end{array}$$

标准正态：

$$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^x{e}^{-t^2/2}dt.$$

标准 Cauchy：

$$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan x.$$

4. 概率母函数

分布	$G(s)=E(s^{\xi })$
Bernoulli	$1-p+ps$
二项 $B(n,p)$	$(1-p+ps{)}^n$
Poisson $P(\lambda )$	$e^{\lambda (s-1)}$
几何，取值 $1,2,\dots$	$\frac{ps}{1-(1-p)s}$
几何，取值 $0,1,\dots$	$\frac{p}{1-(1-p)s}$

用母函数求矩：

$$E\xi =G^{\prime }(1).$$$$Var(\xi )=G^{″}(1)+G^{\prime }(1)-[G^{\prime }(1){]}^2.$$

独立和：

$$G_{\xi +\eta }(s)=G_{\xi }(s)G_{\eta }(s).$$

5. 特征函数

分布	$\phi (t)=E(e^{it\xi })$
单点 $a$	$e^{ita}$
Bernoulli	$1-p+p{e}^{it}$
二项 $B(n,p)$	$(1-p+p{e}^{it}{)}^n$
Poisson $P(\lambda )$	$\exp \{\lambda (e^{it}-1)\}$
均匀 $U(a,b)$	$\frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}$， $t\ne 0$
指数 $Exp(\lambda )$	$\frac{\lambda }{\lambda -it}$
Gamma $\mathrm{\Gamma }(r,\lambda )$	${\left(\frac{\lambda }{\lambda -it}\right)}^r$
正态 $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\exp (i\mu t-{\sigma }^2{t}^2/2)$
标准 Cauchy	$e^{-|t|}$

独立和：

$${\phi }_{\xi +\eta }(t)={\phi }_{\xi }(t){\phi }_{\eta }(t).$$

线性变换：

$${\phi }_{a\xi +b}(t)=e^{itb}{\phi }_{\xi }(at).$$

6. 常见关系

Bernoulli 和二项：

$$\sum _{i=1}^{n}Bernoulli(p)=B(n,p)$$

其中变量独立。

Poisson 可加性：

$$\sum _{i=1}^{n}P({\lambda }_i)=P\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)$$

其中变量独立。

Gamma 可加性：

$$\mathrm{\Gamma }(r_1,\lambda )+\mathrm{\Gamma }(r_2,\lambda )=\mathrm{\Gamma }(r_1+r_2,\lambda )$$

其中变量独立且率参数相同。

正态可加性：

$$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)+N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)=N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$$

其中变量独立。

${\chi }^2$ 与正态：

$$\sum _{i=1}^n{Z}_i^2\sim {\chi }_n^2,Z_i\sim N(0,1)\text{ 独立}.$$

$t$ 分布：

$$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}\sim t_n,Z\sim N(0,1),V\sim {\chi }_n^2,Z\perp V.$$

Cauchy 分布：

$$\frac{Z_1}{Z_2}\sim Cauchy(0,1),Z_1,Z_2\sim N(0,1)\text{ 独立}.$$

Beta 分布：

$$\frac{X}{X+Y}\sim Beta(\alpha ,\beta ),$$

其中：

$$X\sim \mathrm{\Gamma }(\alpha ,\lambda ),Y\sim \mathrm{\Gamma }(\beta ,\lambda ),X\perp Y.$$

7. 选择分布的线索

• 独立重复成功次数：二项分布。
• 不放回抽样成功次数：超几何分布。
• 稀有事件计数：Poisson 分布。
• 等待首次成功次数：几何分布。
• 连续均匀随机点：均匀分布。
• 等待时间且有无记忆性：指数分布。
• 多个独立指数等待时间之和：Gamma 分布。
• 独立标准正态平方和： ${\chi }^2$ 分布。
• 大量独立小影响之和：正态分布。
• 标准正态比值：Cauchy 或 $t$ 分布。