第 1 章 描述统计与概率（Descriptive Statistics & Probability）

对应课件 1 DescriStat & Prob.pdf，参考 Rosner《Fundamentals of Biostatistics》第 2、3 章。

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0. 课程总览

生物统计学（Biostatistics）= 生物学 + 统计学，做的事情包含：数据采集 → 数据呈现/探索 → 数据分析 → 结果解释。

本课程主要内容：

1. 描述性统计（Descriptive Statistics）
2. 概率分布（Probability Distributions）
3. 假设检验（Hypothesis Testing）
4. 方差分析（ANOVA）
5. 回归分析（Regression）
6. 人时数据分析（Person-Time Data）
7. 进阶专题与小组项目

成绩构成：平时分 20%（作业 15% + 问卷 5%）+ 期中闭卷 40% + 小组期末项目 40%。

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1. 描述统计（Descriptive Statistics, Ch.2）

1.1 基本目标

设有样本 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，来自总体 $\mathcal{P}$。我们想从样本推断：

• A1：总体的集中趋势（Central Tendency）
• A2：总体的离散程度（Variability / Spread）

一句话：描述统计 = "数据长在哪里" + "数据散得多开"。

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1.2 集中趋势的度量（Measures of Centrality）

1.2.1 算术平均数（Arithmetic Mean）

$$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

$\overline{x}$ 是总体均值 $\mu$ 的估计。

关键性质：

操作	新样本	新均值
平移：$y_i=x_i+c$	每个数加 $c$	$\overline{y}=\overline{x}+c$
缩放：$y_i=c{x}_i$	每个数乘 $c$	$\overline{y}=c\overline{x}$

对异常值敏感：

• 例 1：$\{6,7,5\}$ → $\overline{x}=6$（合理）
• 例 2：$\{1,6,2,91\}$ → $\overline{x}=25$（被 91 严重拉偏）

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1.2.2 几何均值（Geometric Mean, GM）

$$\mathrm{GM}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{1/n}=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$$

适用于正值、偏态、乘法尺度（如增长率、稀释倍数 $2^{k}c$）。

实际计算步骤：

1. 取对数：$\log x_i$（log10 或 ln 均可）
2. 在对数尺度上算算术均值：$\overline{\log x}=\frac{1}{n}\sum \log x_i$
3. 反变换：$\mathrm{GM}={10}^{\overline{{\log }_{10}x}}$ 或 $e^{\overline{\ln x}}$

直觉：把"乘法的事"变成"加法的事"再做平均，更稳健。

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1.2.3 中位数（Median）

把数据从小到大排序：

• $n$ 为奇数：第 $(n+1)/2$ 个值
• $n$ 为偶数：第 $n/2$ 与 $n/2+1$ 两个值的平均

优点：对异常值不敏感。

弱点：只用到中间的值，不反映分布两端。例如：

• 数据集 1：$1,3,8,10,12,15,18$
• 数据集 2：$1,3,4,10,100,500,1000$

两者中位数都是 10，但分布完全不同。

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1.2.4 众数（Mode）

出现频率最高的值，适合分类/离散数据。

注意事项：

• 所有值频率相同 → 没有众数
• 可能有两个或多个众数（双峰、多峰分布）
• 连续数据中众数较少使用（因为几乎无重复值）

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1.2.5 偏态（Skewness）下三种度量的关系

• 右偏（正偏）：长尾在右，$\text{Mode}<\text{Median}<\text{Mean}$
• 左偏（负偏）：长尾在左，$\text{Mean}<\text{Median}<\text{Mode}$
• 对称：三者大致相等

记忆口诀：均值最容易被尾巴"拖走"，所以哪边有长尾，均值就跑去哪边。

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1.2.6 分位数（Quantiles / Percentiles）

第 $p$ 百分位数 $V_p$ 满足：

$$P(x\le V_p)=p$$

• $V_{0.5}$ = 中位数
• $V_{0.25}$ = 下四分位数（Lower Quartile）
• $V_{0.75}$ = 上四分位数（Upper Quartile）

常见划分：

• 百分位数（percentiles）：100 等分
• 十分位数（deciles）：10 等分
• 四分位数（quartiles）：4 等分

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1.3 离散程度的度量（Measures of Variability）

1.3.1 极差（Range）

$$\text{Range}=max(x_i)-min(x_i)$$

简单粗暴，但对异常值非常敏感，且随样本量 $n$ 增大而增大（因为更可能取到极端值）。

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1.3.2 方差与标准差（Variance & Standard Deviation）

总体方差：

$${\sigma }^2=E[(X_i-\mu {)}^2]$$

样本方差（注意分母是 $n-1$）：

$$S^2=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1}$$

样本标准差：

$$S=\sqrt{S^2}$$

为什么是 $n-1$ 而不是 $n$？

• $\overline{x}$ 是从样本估计的，样本中已经"消耗"一个自由度
• 用 $n-1$ 才能让 $E[S^2]={\sigma }^2$（无偏估计）

为什么常用标准差而不是方差？

• 标准差与原数据单位相同，更直观

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1.4 图形展示（Graphical Displays）

1.4.1 条形图 vs 直方图（Bar Graph vs Histogram）

	条形图 Bar	直方图 Histogram
变量类型	名义/有序（分类）	连续/离散数值
横轴	类别	数值区间（bin）
纵轴	计数/百分比	频数/比例
柱间是否有间隙	有	无（紧贴）
例子	各组人数	IQ 分数分布

1.4.2 案例：铅暴露对儿童神经/心理的影响

德州 El Paso 一个炼铅厂附近：

• 暴露组（GROUP=2）：46 名儿童，血铅 $\ge 40$ μg/mL
• 对照组（GROUP=1）：78 名儿童，血铅 $<40$ μg/mL
• 结局变量：IQ 分数

可用条形图比较两组人数，直方图比较两组 IQ 分布。

1.4.3 箱线图（Boxplot）

五数概括 + 异常值标识：

• 下须：不超过 $LH-1.5\times IQR$ 的最小点
• 下铰 LH（Lower Hinge）≈ 下四分位数
• 中位数线
• 上铰 UH（Upper Hinge）≈ 上四分位数
• 上须：不超过 $UH+1.5\times IQR$ 的最大点
• 离群点：超出上述范围的点单独画出
• IQR = UH − LH（四分位距）

1.4.4 点图与散点图

• Dot Plot：组均值 + 95% 置信区间，便于组间比较
• Scatter Plot：两个变量的关系（如铅含量 vs IQ）

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1.5 分组数据（Grouped Data）

为什么要分组？

1. 数据量太大（WHO、CDC 报告）
2. 涉及隐私/敏感信息（年龄段、薪水段）

设第 $i$ 组的中点为 $m_i$、频数为 $f_i$：

$$\overline{x}=\frac{\sum f_i{m}_i}{\sum f_i},s^2=\frac{\sum f_i(m_i-\overline{x}{)}^2}{\sum f_i}$$

思路：把每个区间里的所有点"近似"看作中点 $m_i$，再做加权平均/方差。

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2. 概率（Probability, Ch.3）

2.1 概率的频率定义

抛硬币 $n$ 次，正面比例随 $n\to \mathrm{\infty }$ 趋于一个 $[0,1]$ 之间的常数 $p$，称为单次抛掷正面的概率。

概率 = 在"无限多次重复试验"中事件出现的相对频率。

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2.2 概率空间 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},P)$

• $\mathrm{\Omega }$（样本空间）：所有可能结果的集合
  • 治疗结局 $\{\text{Survive},\text{Die}\}$
  • 掷骰子 $\{1,2,3,4,5,6\}$
  • 脉搏 $[0,+\mathrm{\infty })$
• $\mathcal{F}$（事件集）：感兴趣的子集合，事件 $E\subset \mathrm{\Omega }$
• $P$（概率函数）：$\mathcal{F}\to [0,1]$，满足 $0\le P(E)\le 1$

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2.3 互斥事件（Mutually Exclusive）

若 $A\cap B=\varnothing$，则

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

例：掷一颗骰子，$A=\{1\},B=\{5\}$，$P(A\cup B)=1/6+1/6=1/3$。

但若 $A=\{1,3\},C=\{1,4\}$，$A\cap C=\{1\}\ne \varnothing$，所以不能直接相加：

$$P(A\cup C)=P(\{1,3,4\})=3/6=1/2\ne P(A)+P(C)=2/3$$

通用并集公式（容斥）：

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

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2.4 余事件（Complement）

$$P(\overline{A})=1-P(A)$$

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2.5 独立事件（Independent Events）

定义：

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)⟺A,B\text{ 独立}$$

例 1（独立）：抛两枚公平硬币，两次都正面的概率 $=1/2\times 1/2=1/4$。

例 2（不独立）：母亲与孩子的舒张压：

• $A=\{\text{母 DBP}\ge 95\},B=\{\text{孩 DBP}\ge 80\}$
• $P(A)=0.1,P(B)=0.2,P(A\cap B)=0.05$
• 但 $P(A)P(B)=0.02\ne 0.05$，故 不独立

多事件独立：$P(A_1\cap \cdots \cap A_k)=\prod P(A_i)$ 称互独立；只对每对都满足称两两独立。

反例：$X_1,X_2,X_3$ 独立，各取 0/1 等概率。$A_i=\{X_j=X_k\}$（其它两个相等）三事件两两独立但不互独立。

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2.6 条件概率（Conditional Probability）

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B)>0$$

例：人群筛查疾病 X

• 15% 检测阳性：$P(B)=0.15$
• 5% 检测阳性且确实患病：$P(A\cap B)=0.05$
• 阳性者真正患病的概率：$P(A|B)=0.05/0.15=1/3$

与独立性的关系：若 $A,B$ 独立，

$$P(B|A)=\frac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$$

即"知道 $A$ 发生不影响 $B$ 的概率"。

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2.7 相对风险（Relative Risk, RR）

设 $A=\{\text{吸烟}\},B=\{\text{患肺癌}\}$：

$$\mathrm{RR}=\frac{P(B\mid A)}{P(B\mid \overline{A})}$$

• $\mathrm{RR}=1$ → 无关（独立）
• $\mathrm{RR}>1$ → 暴露增加风险
• $\mathrm{RR}<1$ → 暴露具有保护作用

例：两医生独立诊断

• $P(A^{+})=0.1,P(B^{+})=0.17,P(A^{+}\cap B^{+})=0.08$
• $P(B^{+}|A^{+})=0.08/0.1=0.8$
• $P(A^{-})=0.9,P(B^{+}\cap A^{-})=0.17-0.08=0.09$
• $P(B^{+}|A^{-})=0.09/0.9=0.1$
• $\mathrm{RR}=0.8/0.1=8$：A 阳性时 B 阳性的可能性是 A 阴性时的 8 倍

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2.8 全概率公式（Total Probability Rule）

若 $A_1,\dots ,A_k$ 互斥且穷尽（必有一个发生），则：

$$P(B)=\sum _{i=1}^{k}P(B\mid A_i)P(A_i)$$

例：60 岁以上 5 年内得白内障

| 年龄段 $A_i$ | $P(A_i)$ | $P(B|A_i)$ | |---|---|---| | 60–64 | 0.45 | 0.024 | | 65–69 | 0.28 | 0.046 | | 70–74 | 0.20 | 0.088 | | 75+ | 0.07 | 0.153 |

$$P(B)=0.024\cdot 0.45+0.046\cdot 0.28+0.088\cdot 0.20+0.153\cdot 0.07\approx 0.052$$

→ 5 年内约 5.2% 的人会得白内障。

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2.9 筛查检验：灵敏度、特异度、预测值

设 $A=\{\text{Test}+\},B=\{\text{有病}\}$：

指标	定义
灵敏度 Sensitivity	$P(A\mid B)$ = 真阳性率
特异度 Specificity	$P(\overline{A}\mid \overline{B})$ = 真阴性率
PPV（阳性预测值）	$P(B\mid A)$
NPV（阴性预测值）	$P(\overline{B}\mid \overline{A})$
假阴性 FN	$P(\overline{A}\mid B)=1-\text{Sensitivity}$
假阳性 FP	$P(A\mid \overline{B})=1-\text{Specificity}$

记忆：Sens / Spec 是医生能在临床上估计的（拿确诊/无病者去测）；PPV/NPV 才是患者真正关心的（"我测出阳性，到底是不是真有病？"）。

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2.10 贝叶斯公式（Bayes' Rule）

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\mid B)P(B)}{P(A\mid B)P(B)+P(A\mid \overline{B})P(\overline{B})}$$

代入临床用语：

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{PPV}=\frac{\text{Sens}\cdot P(\text{disease})}{\text{Sens}\cdot P(\text{disease})+(1-\text{Spec})\cdot P(\text{no disease})}}}$$$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{NPV}=\frac{\text{Spec}\cdot P(\text{no disease})}{\text{Spec}\cdot P(\text{no disease})+(1-\text{Sens})\cdot P(\text{disease})}}}$$

核心结论：PPV/NPV 取决于 Sens、Spec 和 患病率 $P(\text{disease})$。同一个检验，在不同人群里 PPV 完全不同！

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2.11 例：自动血压计 vs 手动测量

• Sens = 0.84
• 假阳性率 = 0.23 → Spec = 0.77
• 患病率 $P(\text{disease})=0.20$

$$\mathrm{PPV}=\frac{0.84\cdot 0.2}{0.84\cdot 0.2+0.23\cdot 0.8}\approx 0.42$$$$\mathrm{NPV}=\frac{0.77\cdot 0.8}{0.77\cdot 0.8+0.16\cdot 0.2}\approx 0.96$$

→ 阳性结果不太可信，但阴性结果相当可信。

患病率的影响（同检验）：

$P(\text{disease})$	PPV	NPV
0.01	0.036	0.998
0.20	0.42	0.96
0.90	0.97	0.348

关键启发：在低患病率人群（如普通人群乳腺癌筛查）大规模做高灵敏度但特异度不完美的筛查，会有大量"假阳性"，PPV 很低！

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2.12 患病率（Prevalence）vs 发病率（Incidence）

• 患病率 Prevalence：当前有病的人数 / 总人数（不管病了多久）
• 发病率 Incidence：原本无病的人，在指定时间窗内新发生疾病的概率

患病率是"截面照片"，发病率是"动态新增"。

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2.13 ROC 曲线与 AUC

ROC（Receiver Operating Characteristic）曲线：

• 横轴：1 − Specificity（假阳性率）
• 纵轴：Sensitivity（真阳性率）
• 通过改变分类阈值得到不同点 → 一条曲线

AUC（Area Under the Curve）：

AUC	含义
1.0	完美分类
0.5	与随机猜测相同
< 0.5	比随机还差（说明模型方向反了）

为什么随机猜测 AUC = 0.5？因为此时 $\text{Sens}=1-\text{Spec}$，ROC 退化为对角线 $y=x$。

例（fMRI 测谎）：

	Pred Lie	Pred Truth	Total
Lie	347	181	528
Truth	179	393	572
Total	526	574	1100

• Sens = 347/528 = 65.72%
• Spec = 393/572 = 68.71%
• PPV = 347/526 = 65.97%
• NPV = 393/574 = 68.47%
• 总正确率 = 740/1100 = 67.27%
• AUC = 0.7509，比随机猜测高 0.2509

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3. 自测要点（Checklist）

描述统计

• [ ] 算术均值、几何均值、中位数、众数各自的定义、适用场景与对异常值的敏感度
• [ ] $n-1$ 自由度的来源与意义
• [ ] 偏态与三种集中趋势量的相对位置
• [ ] 条形图与直方图的区别
• [ ] 箱线图各部件的含义与离群点判定 $\pm 1.5\times \text{IQR}$
• [ ] 分组数据均值/方差的加权公式

概率

• [ ] 互斥与独立的区别（互斥不等于独立！互斥事件如概率都为正，反而不可能独立）
• [ ] 容斥公式 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• [ ] 条件概率定义与独立性等价表述
• [ ] 全概率公式
• [ ] Sens / Spec / PPV / NPV / FN / FP 的定义与公式
• [ ] 贝叶斯公式推导 PPV、NPV
• [ ] 患病率对 PPV/NPV 的影响（很重要）
• [ ] ROC、AUC 的几何含义

思考题

1. 为什么药物广告中常说"无副作用"，而临床数据显示"副作用率 5%"，可能是怎么算出来的？（提示：分母选择）
2. 一个 Sens=99%、Spec=99% 的 HIV 检测，对患病率 1/1000 的普通人群 PPV 是多少？比比直觉。
3. 为什么对"罕见病"做大规模筛查通常要先考虑提高 Spec？

第 2 题答案：$\mathrm{PPV}=\frac{0.99\times 0.001}{0.99\times 0.001+0.01\times 0.999}\approx 9\mathrm{\%}$！ 即使灵敏度特异度都高达 99%，在罕见病人群中阳性结果的真患病概率仍然很低。