第 10 章：基于正态分布的推断

本章把正态总体下的精确抽样分布系统化：$t$ 分布、${\chi }^2$ 分布、$F$ 分布，以及它们在均值和方差推断中的应用。

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0. 本章定位

第 9 章的许多检验默认 $\sigma$ 已知，因此可以用

$$Z=\frac{\overline{Y}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$

但现实里 $\sigma$ 往往未知，要用样本标准差 $S$ 替代。
这会把标准正态统计量变成 Student $t$ 统计量：

$$\frac{\overline{Y}-\mu }{S/\sqrt{n}}$$

知识链条：

正态样本
  -> 样本均值与样本方差
  -> χ² 分布刻画 S²
  -> t 分布刻画 (Ybar-μ)/(S/sqrt(n))
  -> F 分布刻画方差比
  -> μ 与 σ² 的置信区间/检验

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1. 三个抽样分布

1.1 ${\chi }^2$ 分布

若 $Z_1,\dots ,Z_m$ 独立且均为标准正态，则

$$\boxed{{\displaystyle U=\sum _{j=1}^m{Z}_j^2\sim {\chi }_m^2}}$$

$m$ 称为自由度。

1.2 $F$ 分布

若

$$U\sim {\chi }_m^2,V\sim {\chi }_n^2$$

且独立，则

$$\boxed{{\displaystyle F=\frac{U/m}{V/n}\sim F_{m,n}}}$$

它用于比较两个方差。

1.3 Student $t$ 分布

若

$$Z\sim N(0,1),U\sim {\chi }_n^2$$

且独立，则

$$\boxed{{\displaystyle T=\frac{Z}{\sqrt{U/n}}\sim t_n}}$$

$t$ 分布对称、尾部比正态更厚；自由度越大，越接近标准正态。

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2. 正态样本的关键定理

设

$$Y_1,\dots ,Y_n\stackrel{i.i.d.}{\sim }N(\mu ,{\sigma }^2)$$

样本均值：

$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i$$

样本方差：

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y}{)}^2$$

则：

$$\boxed{{\displaystyle \overline{Y}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})}}$$$$\boxed{{\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2}}$$

并且 $\overline{Y}$ 与 $S^2$ 独立。

因此：

$$\boxed{{\displaystyle T=\frac{\overline{Y}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}}}$$

这是本章最重要的公式。

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3. 对均值 $\mu$ 的置信区间

当 ${\sigma }^2$ 未知，使用 $t$ 分布。

$$P(-t_{\alpha /2,n-1}\le \frac{\overline{Y}-\mu }{S/\sqrt{n}}\le t_{\alpha /2,n-1})=1-\alpha$$

反解 $\mu$：

$$\boxed{{\displaystyle \mu \in [\overline{y}-t_{\alpha /2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{y}+t_{\alpha /2,n-1}\frac{s}{\sqrt{n}}]}}$$

这就是 $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 的均值置信区间。

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4. 单样本 $t$ 检验

检验：

$$H_0:\mu ={\mu }_0$$

统计量：

$$\boxed{{\displaystyle t=\frac{\overline{y}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}}}$$

在 $H_0$ 下：

$$t\sim t_{n-1}$$

4.1 右尾

$$H_1:\mu >{\mu }_0$$

拒绝：

$$t\ge t_{\alpha ,n-1}$$

4.2 左尾

$$H_1:\mu <{\mu }_0$$

拒绝：

$$t\le -t_{\alpha ,n-1}$$

4.3 双尾

$$H_1:\mu \ne {\mu }_0$$

拒绝：

$$|t|\ge t_{\alpha /2,n-1}$$

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5. 正态性假设与稳健性

单样本 $t$ 检验的精确结论依赖正态总体。若总体明显偏态且样本很小，$t$ 检验可能不可靠。

但随着 $n$ 增大：

• $\overline{Y}$ 由 CLT 近似正态；
• $S$ 逐渐稳定；
• $t$ 统计量通常有较好的近似。

所以判断时要同时看：

1. 样本量；
2. 数据是否严重偏态；
3. 是否有极端异常值。

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6. 对方差 ${\sigma }^2$ 的置信区间

由

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2$$

可得：

$$P({\chi }_{\alpha /2,n-1}^2\le \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\le {\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2)=1-\alpha$$

反解 ${\sigma }^2$：

$$\boxed{{\displaystyle {\sigma }^2\in [\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2},\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2,n-1}^2}]}}$$

方差区间不是对称的，因为 ${\chi }^2$ 分布是右偏的。

标准差区间就是对上述上下界开平方：

$$\sigma \in [\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2}},\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2,n-1}^2}}]$$

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7. 方差检验

检验：

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$$

统计量：

$$\boxed{{\displaystyle {\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}}}$$

在 $H_0$ 下：

$${\chi }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$$

右尾检验：

$$H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2,{\chi }^2\ge {\chi }_{1-\alpha ,n-1}^2$$

左尾检验：

$$H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2,{\chi }^2\le {\chi }_{\alpha ,n-1}^2$$

双尾检验：

$$H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$$

拒绝域：

$${\chi }^2\le {\chi }_{\alpha /2,n-1}^2\text{or}{\chi }^2\ge {\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2$$

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8. 本章知识图谱

                    正态分布推断
                         |
       ┌─────────────────┼─────────────────┐
       |                 |                 |
   抽样分布            均值 μ             方差 σ²
       |                 |                 |
 χ²: 正态平方和       t 区间             χ² 区间
       |                 |                 |
 t: Z/sqrt(χ²/df)     t 检验             χ² 检验
       |
 F: 两个χ²比值
       |
 后续双样本方差比较

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9. 易错点与考点

误区	正确认识
$\sigma$ 未知还用 $Z$	小样本正态且 $\sigma$ 未知用 $t$
$t$ 分布和正态完全一样	$t$ 尾部更厚，自由度大时才接近正态
方差区间上下界顺序随便写	反解 ${\sigma }^2$ 会导致 ${\chi }^2$ 分位数上下对调
${\chi }^2$ 分布对称	${\chi }^2$ 右偏，区间不对称
$S^2$ 与 $\overline{Y}$ 总独立	正态样本下成立，一般分布不一定
$t$ 检验不怕任何非正态	大样本较稳健，小样本严重偏态要谨慎

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10. 关键公式速查表

内容	公式
样本方差	$S^2=\frac{1}{n-1}\sum (Y_i-\overline{Y}{)}^2$
卡方统计量	$(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$
t 统计量	$(\overline{Y}-\mu )/(S/\sqrt{n})\sim t_{n-1}$
均值 CI	$\overline{y}\pm t_{\alpha /2,n-1}s/\sqrt{n}$
单样本 t 检验	$t=(\overline{y}-{\mu }_0)/(s/\sqrt{n})$
方差 CI	$[(n-1)s^2/{\chi }_{1-\alpha /2}^2,(n-1)s^2/{\chi }_{\alpha /2}^2]$
方差检验	${\chi }^2=(n-1)s^2/{\sigma }_0^2$
F 分布	$(U/m)/(V/n)\sim F_{m,n}$

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11. 学习建议

1. 先背正态样本三件套：$\overline{Y}$ 正态、$(n-1)S^2/{\sigma }^2$ 卡方、二者独立。
2. 均值问题看 $\sigma$ 是否已知：未知用 $t$。
3. 方差问题统一用 ${\chi }^2$。
4. 方差置信区间反解时特别注意上下界。
5. 本章是第 12 章双样本推断的前置知识，尤其是 $t$、${\chi }^2$、$F$ 的关系。

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12. 专题深化：正态样本三件套从哪里来

本章建立在一个非常关键的事实上：正态样本中，样本均值和样本方差有特殊的精确分布。

设

$$Y_1,\dots ,Y_n\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$

独立同分布。

12.1 样本均值的分布

因为正态变量的线性组合仍为正态，

$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i$$

也服从正态分布。其均值和方差为

$$E(\overline{Y})=\mu ,\mathrm{Var}(\overline{Y})=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$

所以

$$\overline{Y}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}).$$

标准化得到

$$Z=\frac{\overline{Y}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

这就是已知方差时 z 区间和 z 检验的来源。

12.2 样本方差的卡方分布

样本方差定义为

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y}{)}^2.$$

正态样本下有

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2.$$

自由度是 $n-1$，因为估计了一个均值 $\overline{Y}$，残差满足

$$\sum _{i=1}^n(Y_i-\overline{Y})=0.$$

所以只有 $n-1$ 个独立方向。

12.3 样本均值与样本方差独立

正态样本下，

$$\overline{Y}\perp S^2.$$

这是正态分布的特殊性质，一般分布不一定成立。

有了这条独立性，才能把

$$Z=\frac{\overline{Y}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$$

和

$$U=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}$$

组合成 t 统计量。

12.4 t 分布的构造

若

$$Z\sim N(0,1),U\sim {\chi }_{\nu }^2,$$

且 $Z,U$ 独立，则

$$T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu }}\sim t_{\nu }.$$

代入正态样本：

$$T=\frac{(\overline{Y}-\mu )/(\sigma /\sqrt{n})}{\sqrt{[(n-1)S^2/{\sigma }^2]/(n-1)}}=\frac{\overline{Y}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}.$$

这就是未知方差时用 t 而不是 z 的原因。

12.5 F 分布的构造

若

$$U\sim {\chi }_m^2,V\sim {\chi }_n^2$$

独立，则

$$F=\frac{U/m}{V/n}\sim F_{m,n}.$$

后续两样本方差比较和 ANOVA 都依赖这个结构。

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13. 专题深化：单样本均值推断

13.1 已知 $\sigma$ 的置信区间

若 $\sigma$ 已知，

$$\frac{\overline{Y}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

因此

$$P(-z_{\alpha /2}\le \frac{\overline{Y}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le z_{\alpha /2})=1-\alpha .$$

反解 $\mu$：

$$\mu \in [\overline{Y}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{Y}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}].$$

13.2 未知 $\sigma$ 的置信区间

若 $\sigma$ 未知，用 $S$ 替换并改用 t 分布：

$$\frac{\overline{Y}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}.$$

所以

$$\mu \in [\overline{Y}-t_{\alpha /2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}},\overline{Y}+t_{\alpha /2,n-1}\frac{S}{\sqrt{n}}].$$

13.3 单样本 t 检验

检验

$$H_0:\mu ={\mu }_0$$

使用统计量

$$t=\frac{\overline{y}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}.$$

在 $H_0$ 下，

$$T\sim t_{n-1}.$$

根据备择方向选择左尾、右尾或双尾。

13.4 t 区间与 t 检验的对应

对双侧检验而言，在同一显著性水平下：

$${\mu }_0\notin 100(1-\alpha )\mathrm{\%}\text{ CI}⟺\text{拒绝 }{H}_0:\mu ={\mu }_0.$$

这条对应在解释结果时很有用。

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14. 专题深化：方差推断

14.1 方差置信区间

正态样本下，

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2.$$

因此

$$P({\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2\le \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\le {\chi }_{\alpha /2,n-1}^2)=1-\alpha$$

其中本笔记沿用“右尾面积”为下标的记法。反解时要注意 ${\sigma }^2$ 在分母，会导致上下界调换：

$$[\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{\alpha /2,n-1}^2},\frac{(n-1)s^2}{{\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2}]$$

若教材用左尾分位数记号，公式表面会不同，但逻辑一致。

14.2 方差检验

检验

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$$

使用统计量

$${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}.$$

右尾备择 $H_1:{\sigma }^2>{\sigma }_0^2$ 时，大的 $s^2$ 支持备择，因此拒绝域在右尾。

左尾备择 $H_1:{\sigma }^2<{\sigma }_0^2$ 时，拒绝域在左尾。

双尾备择时看两端。

14.3 正态性假设的重要性

均值 t 推断在大样本下对轻微非正态较稳健；但方差的卡方推断对正态性更敏感。

原因是 $(n-1)S^2/{\sigma }^2$ 的卡方分布是正态样本的精确结果。若总体严重偏态或重尾，方差区间和检验可能失真。

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15. 专题深化：Type II Error 与非中心分布直觉

在单样本 t 检验中，Type II error 的计算比 z 检验更复杂，因为检验统计量在备择下通常服从非中心 t 分布。

对检验

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$$

统计量

$$T=\frac{\overline{Y}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}.$$

若真实均值为 ${\mu }_a>{\mu }_0$，则 $T$ 的中心会向右移动。移动量由

$$\delta =\frac{{\mu }_a-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$

控制，称为非中心参数。

直观结论：

1. ${\mu }_a-{\mu }_0$ 越大，功效越高；
2. $n$ 越大，功效越高；
3. $\sigma$ 越大，功效越低；
4. $\alpha$ 越小，拒绝域越严格，功效通常越低。

若要求手算，常用 z 近似或给出分布表；理解方向比记复杂公式更重要。

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16. 本章复习清单

核心内容	复习时要能做到
正态样本均值	会写 $\overline{Y}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$
样本方差	会写 $(n-1)S^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$
独立性	知道 $\overline{Y}$ 与 $S^2$ 在正态下独立
t 分布	会从 $Z/\sqrt{U/\nu }$ 构造
F 分布	会从两个独立卡方比构造
均值 CI	能区分已知 $\sigma$ 与未知 $\sigma$
单样本 t 检验	会按备择方向选尾部
方差 CI	反解时能处理上下界
方差检验	会判断大方差或小方差对应哪个尾
非正态风险	知道方差推断比均值推断更敏感

17. 综合深化：正交分解、方差区间与非中心 t

17.1 为什么样本均值与样本方差独立

设 $X=(X_1,\dots ,X_n{)}^{\mathrm{\top }}\sim N(\mu \mathbf{1},{\sigma }^{2}I)$。取一个 $n\times n$ 正交矩阵 $A$，令其最后一行为 ${\mathbf{1}}^{\mathrm{\top }}/\sqrt{n}$，并定义

$$Z=A\frac{X-\mu \mathbf{1}}{\sigma }.$$

由于正交变换保持标准多元正态分布，$Z_1,\dots ,Z_n$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$。最后一个坐标为

$$Z_n=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma },$$

其余 $n-1$ 个坐标张成与 $\mathbf{1}$ 正交的残差空间，并满足

$$\sum _{j=1}^{n-1}{Z}_j^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2.$$

因此，均值坐标与残差坐标独立，进而得到 $\overline{X}\perp S^2$。这也是 t 分布、均值 t 检验和方差卡方推断能够精确成立的核心。

17.2 方差置信区间的实际计算模板

对来自正态总体的 $n$ 个观测，$100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 方差置信区间为

$$[\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2,n-1}^2},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2,n-1}^2}].$$

例如矿物钾氩年龄的 $n=19$ 个观测，应使用自由度 $18$ 的卡方分位数。计算时先确认软件的分位数定义，再注意较大的卡方分位数出现在区间下界；若研究目标是标准差，最后对两个端点开平方。

17.3 非中心 t 分布与检验功效

对右侧单样本 t 检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 对 $H_1:\mu >{\mu }_0$，当真实均值为 ${\mu }_1$ 时，

$$T=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{Z+\delta }{\sqrt{U/(n-1)}},\delta =\frac{\sqrt{n}({\mu }_1-{\mu }_0)}{\sigma },$$

其中 $Z\sim N(0,1)$、$U\sim {\chi }_{n-1}^2$ 且相互独立。因此 $T$ 服从非中心 t 分布，功效为

$$P_{{\mu }_1}(T>t_{1-\alpha ,n-1}).$$

非中心参数 $\delta$ 把效应大小、样本量和噪声统一到一个无量纲尺度中，可直接用于功效分析和样本量设计。

17.4 精确结论与渐近结论的边界

正态样本下的 t、卡方和 F 分布结论是有限样本精确结论。非正态总体下，样本均值常可借助 CLT 近似正态，但 $(n-1)S^2/{\sigma }^2$ 一般不再服从卡方分布，均值与样本方差也未必独立。因此，小样本方差推断尤其依赖正态假设，应结合图形诊断、稳健方法或重抽样方法。