第 2 章：Binomial、离散与连续随机变量

这一章从“事件的概率”过渡到“随机变量的分布”。核心问题是：怎样把随机实验的结果变成数字，并描述这些数字的概率规律？

0. 本章定位

第 1 章的概率对象是事件 $A$ 。
第 2 章开始，我们把实验结果映射成数值：

X : S \to R

这样就可以讨论：

$P (X = k)$ ：离散随机变量的概率
$P (a \leq X \leq b)$ ：连续随机变量落在区间内的概率
$F_{X} (t) = P (X \leq t)$ ：累积分布函数

知识链条：

事件概率 -> 随机变量 -> pdf/pmf -> cdf -> 常见分布

1. 二项分布：独立重复试验的计数模型

1.1 二项模型什么时候用？

二项分布适用于：

固定做 $n$ 次试验；
每次只有成功/失败两个结果；
每次成功概率相同，为 $p$ ；
各次试验独立；
$X$ 表示成功次数。

则

X \sim Binomial (n, p)

且

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n

1.2 公式为什么长这样？

“恰好 $k$ 次成功”由两部分组成：

任意一个具体序列的概率： $p^{k} (1 - p)^{n - k}$
这样的序列数： $(\binom{n}{k})$

所以：

P (X = k) = \underset{安排成功位置}{\underset{⏟}{(\binom{n}{k})}} \cdot \underset{某一序列的概率}{\underset{⏟}{p^{k} (1 - p)^{n - k}}}

1.3 决策规则的雏形

本章中的 PM-17 药物例子已经埋下了假设检验的思想：

如果药真实有效，却因为样本结果不好而放弃：一种错误；
如果药真实无效，却因为样本结果偶然好而继续投入：另一种错误。

这就是后面第 9 章的 Type I / Type II error 的直观来源。

2. 超几何分布：不放回抽样

2.1 使用场景

一个总体中有 $N$ 个对象，其中 $r$ 个是“成功类”， $w = N - r$ 个是“失败类”。
不放回抽取 $n$ 个，令 $X$ 为成功类个数，则

P (X = k) = \frac{(\binom{r}{k}) (\binom{w}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

2.2 二项 vs 超几何

模型	抽样方式	每次成功概率	典型公式
二项分布	放回或独立重复	不变	$(\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
超几何分布	不放回	改变	$(\binom{r}{k}) (\binom{w}{n - k}) / (\binom{N}{n})$

判断关键：是否不放回且总体有限。

3. 离散随机变量

3.1 离散概率函数

如果样本空间有限或可数无限，函数 $p (s)$ 满足：

p (s) \geq 0, \sum_{s \in S} p (s) = 1

则 $p$ 是离散概率函数。

对事件 $A$ ：

P (A) = \sum_{s \in A} p (s)

3.2 离散随机变量

若 $X$ 的取值是有限或可数无限个实数，则 $X$ 是离散随机变量。

它的概率质量函数（这里也称 discrete pdf）为：

p_{X} (k) = P (X = k)

要求：

p_{X} (k) \geq 0, \sum_{k} p_{X} (k) = 1

3.3 从样本点到随机变量的例子

若每天生产 3 台发电机，每台通过质检概率 $0.95$ 。通过一台赚 10000，返工一台亏 2000。令 $X$ 为当天利润。

如果有 2 台通过、1 台返工：

X = 2 (10000) - 1 (2000) = 18000

而“2 台通过、1 台返工”有 $(\binom{3}{2})$ 种排列，所以

P (X = 18000) = (\binom{3}{2}) (0.95)^{2} (0.05)

重点：随机变量会把多个样本点压缩成同一个数值，求 $P (X = k)$ 时要把所有对应样本点概率加起来。

4. 累积分布函数（CDF）

4.1 定义

对任意随机变量 $X$ ：

F_{X} (t) = P (X \leq t)

这叫累积分布函数。

离散情形：

F_{X} (t) = \sum_{k \leq t} p_{X} (k)

区间概率：

P (a < X \leq b) = F_{X} (b) - F_{X} (a)

若边界是否包含有影响，要看离散点上是否有概率质量。

4.2 CDF 的用法

例： $X \sim Binomial (50, 0.6)$ ，求

P (21 \leq X \leq 40)

可以写成：

P (21 \leq X \leq 40) = F_{X} (40) - F_{X} (20)

CDF 的优势是把长求和变成查表或软件计算。

5. 连续随机变量

5.1 连续概率函数

连续模型不再给单点分配概率，而是给区间分配概率。

函数 $f (y)$ 若满足：

f (y) \geq 0, \int_{- \infty}^{\infty} f (y) d y = 1

则可以作为概率密度函数。

对区间：

P (a \leq Y \leq b) = \int_{a}^{b} f_{Y} (y) d y

5.2 单点概率为 0

连续随机变量满足：

P (Y = a) = 0

所以

P (a < Y < b) = P (a \leq Y \leq b) = P (a < Y \leq b)

这和离散随机变量完全不同。

5.3 连续 CDF

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (t) d t

如果 $F_{Y}$ 可导，则

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y)

6. 直方图与密度

以电子管寿命为例：真实数据的直方图可以提示我们选择某个连续分布作为模型，例如指数分布：

f (t) = λ e^{- λ t}, t > 0

关键理解：

直方图的高度不是概率本身；
区间面积才对应概率；
密度函数也是“面积为概率”。

7. 本章知识图谱

图表渲染中…

8. 易错点与考点

误区	正确认识
二项分布只要有成功失败就能用	还必须固定次数、独立、同一成功概率
不放回抽样也直接用二项	总体有限且不放回时一般用超几何
连续变量的 $f (y)$ 是概率	$f (y)$ 是密度，面积才是概率
连续变量 $P (Y = a)$ 可能大于 0	连续变量单点概率为 0
$F_{X} (b) - F_{X} (a)$ 一定是 $P (a \leq X \leq b)$	离散情形要注意边界点概率

9. 关键公式速查表

内容	公式
二项分布	$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
超几何分布	$P (X = k) = (\binom{r}{k}) (\binom{w}{n - k}) / (\binom{N}{n})$
离散 pmf	$p_{X} (k) = P (X = k)$
离散 CDF	$F_{X} (t) = \sum_{k \leq t} p_{X} (k)$
连续 pdf 条件	$f (y) \geq 0, \int f (y) d y = 1$
连续区间概率	$P (a \leq Y \leq b) = \int_{a}^{b} f_{Y} (y) d y$
连续 CDF	$F_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (t) d t$
CDF 与 pdf	$f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y)$

10. 学习建议

先判断变量是离散还是连续。
离散题先列可能取值，再写 $p_{X} (k)$ 。
连续题先检查密度是否非负、积分是否为 1。
看到“不放回抽样”，优先考虑超几何分布。
看到“至少”“至多”，常用 CDF 或补集简化计算。

11. 二项分布例题群

11.1 磁盘驱动器例子：二项模型的四个检查点

例：信息中心有 9 个老旧磁盘，每个不可用概率 0.06。系统正常工作要求至少 7 个可用。

令

X = 可用磁盘数

则

X \sim Binomial (9, 0.94)

因为：

固定试验次数 $n = 9$ ；
每个磁盘只有可用/不可用；
可用概率相同 $p = 0.94$ ；
假设各磁盘独立。

所求概率：

P (X \geq 7) = \sum_{k = 7}^{9} (\binom{9}{k}) (0.94)^{k} (0.06)^{9 - k}

这类题的关键是先定义 $X$ 。若你定义“坏掉的磁盘数”，也可以做，但阈值会变成 $X \leq 2$ 。

11.2 PM-17 药物例子：二项分布与决策错误

30 只猴子接受药物，若 16 只或更多改善就继续研发。令

X = 改善数量

若真实有效率为 0.60：

X \sim Binomial (30, 0.60)

公司错误放弃有效药的概率：

P (X \leq 15) = \sum_{k = 0}^{15} (\binom{30}{k}) (0.60)^{k} (0.40)^{30 - k}

若真实有效率只有 0.50：

X \sim Binomial (30, 0.50)

错误继续无商业价值药物的概率：

P (X \geq 16) = \sum_{k = 16}^{30} (\binom{30}{k}) (0.50)^{30}

这个例子是第 9 章假设检验的预演：

统计语言	PM-17 例子
拒绝一个好药	Type I / Type II 取决于如何设 $H_{0}$
继续一个差药	另一类错误
决策阈值 16	临界值
错误概率	显著性与功效的雏形

11.3 Stanley Cup 例子：不是所有二项题都直接数总成功数

七局四胜制，若两队均势，每场独立且各自胜率 $0.5$ 。

系列赛在 6 场结束，表示某队前 5 场赢 3 场，并赢第 6 场。

某队在 6 场取胜的概率：

(\binom{5}{3}) (0.5)^{3} (0.5)^{2} (0.5)

任一队在 6 场结束：

2 (\binom{5}{3}) (0.5)^{6}

注意这里不能直接令 $X \sim Binomial (7, 0.5)$ 然后算 $P (X = 4)$ ，因为系列赛一旦某队先到 4 胜就停止，后面的比赛不存在。

这类题要识别“最后一场必须是冠军赢”。

11.4 SAT 挑战例子：两个独立二项变量比较

数学组 4 人，数学成绩超过 600 的概率 0.231；阅读组 4 人，阅读超过 600 的概率 0.191。

令

M \sim Binomial (4, 0.231)

C R \sim Binomial (4, 0.191)

数学组获胜是：

M > C R

不能只算一个二项分布，需要枚举：

P (M > C R) = \sum_{c = 0}^{4} P (C R = c) P (M > c)

或展开为所有 $(m, c)$ 满足 $m > c$ 的联合概率：

\sum_{m > c} P (M = m) P (C R = c)

这里用到两组独立，所以联合概率可乘。

12. 超几何分布例题群

12.1 “不放回”为什么改变模型？

二项模型的核心是每次成功概率不变。
不放回抽样时，抽到一个红球后，剩余红球数和总数都会变，下一次成功概率改变。

如果总体中有：

$r$ 个红；
$w$ 个白；
总数 $N = r + w$ ；
不放回抽 $n$ 个；
$X =$ 抽到红球个数。

则

P (X = k) = \frac{(\binom{r}{k}) (\binom{w}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

分子含义：从红球中选 $k$ 个，从白球中选 $n - k$ 个。
分母含义：从 $N$ 个总体中任意选 $n$ 个。

12.2 Hung jury 例子

25 名潜在陪审员中，23 人会判有罪，2 人会判无罪。随机选 12 人，若无法达成一致就是 hung jury。

一致情况只有两类：

12 人全是有罪倾向；
12 人全是无罪倾向。

但只有 2 个无罪倾向者，不可能选出 12 个无罪倾向者，所以一致只能是全有罪：

P (unanimous) = \frac{(\binom{23}{12})}{(\binom{25}{12})}

因此：

P (hung jury) = 1 - \frac{(\binom{23}{12})}{(\binom{25}{12})}

也可从“至少抽到 1 个无罪倾向者”角度计算。

12.3 彩票号码例子：别被相对频率误导

Fantasy Five 从 1 到 36 中抽 5 个。若关注 1 到 12 之间的号码个数，则：

r = 12, w = 24, n = 5, N = 36

恰好 3 个号码不超过 12：

P (X = 3) = \frac{(\binom{12}{3}) (\binom{24}{2})}{(\binom{36}{5})}

实际观察频率和理论概率不同，不一定说明彩票有偏。需要后续假设检验来判断偏差是否超过随机波动。

12.4 审计抽样例子：用补集简化尾概率

470 笔税款中有 10 笔违规，随机抽 19 笔，若发现 3 笔或更多违规就认为有问题。

令

X = 样本中违规笔数

则

X \sim Hypergeometric (N = 470, r = 10, n = 19)

所求：

P (X \geq 3)

直接算尾部较麻烦，使用补集：

P (X \geq 3) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) - P (X = 2)

即

1 - \sum_{k = 0}^{2} \frac{(\binom{10}{k}) (\binom{460}{19 - k})}{(\binom{470}{19})}

“至少 3 个”这类题常优先看补集是否更短。

13. 随机变量、CDF 与连续密度例题

13.1 离散随机变量的压缩作用

随机变量不是样本点本身，而是对样本点的数值化。
同一个数值可能对应多个样本点。

发电机利润例子：

X = 10000 \times (通过数) - 2000 \times (返工数)

若 3 台中 2 台通过、1 台返工，则 $X = 18000$ 。但对应样本序列有：

(S, S, F), (S, F, S), (F, S, S)

所以：

P (X = 18000) = (\binom{3}{2}) (0.95)^{2} (0.05)

这就是从样本空间到随机变量分布的压缩。

13.2 CDF 处理最大值

两个骰子，令 $X$ 为较大点数。

求 $F_{X} (t) = P (X \leq t)$ 。
事件 $X \leq t$ 等价于两个骰子都不超过 $t$ ：

F_{X} (t) = P (i \leq t, j \leq t) = \frac{t}{6} \cdot \frac{t}{6} = \frac{t^{2}}{36}

其中 $t = 1, 2, \dots, 6$ 。

若要 pmf：

P (X = t) = F_{X} (t) - F_{X} (t - 1) = \frac{t^{2} - (t - 1)^{2}}{36}

这类题说明：有些随机变量直接求 pmf 麻烦，先求 CDF 更简单。

13.3 连续密度不是概率

若

f (t) = 3 t^{2}, 0 \leq t \leq 1

先检查：

\int_{0}^{1} 3 t^{2} d t = 1

区间概率：

P (0 \leq Y \leq 1 / 3) = \int_{0}^{1 / 3} 3 t^{2} d t = \frac{1}{27}

P (2 / 3 \leq Y \leq 1) = \int_{2 / 3}^{1} 3 t^{2} d t = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}

虽然两个区间长度相同，但概率不同，因为密度在右侧更大。

13.4 密度缩放直方图

电子管寿命的例子说明：直方图若要和 pdf 比较，纵轴不能用频数，而要用 density。

对某个组距为 $h$ 的 bin：

density height = \frac{relative frequency}{h}

这样矩形面积才等于该区间的相对频率。

连续模型拟合数据时，要比较的是“面积形状”，不是柱子高度的原始频数。

14. 本章复习清单

会判断二项分布的四个条件。
会处理“至少/至多”的二项尾概率。
会识别七局四胜制这类停止规则，不机械套 $P (X = 4)$ 。
会写超几何分布并解释每个组合数。
会用补集简化超几何尾概率。
会从样本点映射到随机变量取值，并合并同值样本点概率。
会用 CDF 求区间概率和最大值分布。
会检查连续 pdf 的合法性。
会解释为什么连续变量单点概率为 0。
会理解 density-scaled histogram 与 pdf 的对应关系。

15. 综合深化：从分布计算到统计决策

15.1 二项阈值规则已经包含两类错误

设新药对每个实验对象有效的概率为 $p$ ，30 次独立试验中有效数

X \sim B i n (30, p) .

决策规则是“若 $X \geq 16$ 则继续研发”。若把“药物达到目标有效率”作为原假设，例如 $H_{0} : p = 0.6$ ，则错误终止的概率为

P_{0.6} (X \leq 15),

它是把有效药物判为无效的错误。若药物实际只有 $p = 0.3$ ，却因 $X \geq 16$ 而继续研发，则错误概率为

P_{0.3} (X \geq 16) .

改变临界值 16 会在两类错误之间产生权衡：门槛提高可减少误判无效药物为有效，却增加错过有效药物的风险。第 9 章会把这种规则系统化为显著性水平、第二类错误和功效。

15.2 无放回抽样的三个模型识别例子

陪审团。 25 人中 2 人持不同意见，随机抽 12 人。恰抽到 1 人的概率为

\frac{(\binom{2}{1}) (\binom{23}{11})}{(\binom{25}{12})} .

弹道痕迹。 总共 $N$ 个可能刻痕位置，证据子弹占 $m$ 个位置，测试子弹占 $n$ 个位置。若把两组位置视为随机子集，至少一个位置重合的概率可由补集计算：

P (至少一处重合) = 1 - \frac{(\binom{N - m}{n})}{(\binom{N}{n})} .

审计抽样。 总体 $N$ 笔交易中有 $M$ 笔违规，无放回审计 $n$ 笔，发现至少 3 笔违规的概率为

1 - \sum_{k = 0}^{2} \frac{(\binom{M}{k}) (\binom{N - M}{n - k})}{(\binom{N}{n})} .

三题共同结构是：总体中的“成功数”固定，抽取后剩余比例改变，因此应使用超几何分布，而不是直接套二项分布。

15.3 系列赛长度提醒我们检查 i.i.d. 假设

若两队每场胜率均为 $1 / 2$ 且各场独立，七场四胜制在第 6 场结束，要求获胜方前 5 场恰赢 3 场且第 6 场获胜。考虑任一方获胜：

P (L = 6) = 2 (\binom{5}{3}) {(\frac{1}{2})}^{6} .

真实比赛中，伤病、主客场、阵容调整和心理状态可能使胜率随时间改变。理论分布与经验系列赛长度不符时，不应只归咎于随机波动，还要重新检查“固定胜率、跨场独立”这两个模型假设。

15.4 连续密度的可视化尺度

直方图若要与密度曲线比较，纵轴必须使用 density，使所有柱形总面积为 1。频数直方图的高度随样本量和箱宽改变，不能直接与 pdf 数值比较。连续变量单点概率为 0，但密度值反映单位长度附近的概率集中程度。

第 2 章：Binomial、离散与连续随机变量 ​

0. 本章定位 ​

1. 二项分布：独立重复试验的计数模型 ​

1.1 二项模型什么时候用？ ​

1.2 公式为什么长这样？ ​

1.3 决策规则的雏形 ​

2. 超几何分布：不放回抽样 ​

2.1 使用场景 ​

2.2 二项 vs 超几何 ​

3. 离散随机变量 ​

3.1 离散概率函数 ​

3.2 离散随机变量 ​

3.3 从样本点到随机变量的例子 ​

4. 累积分布函数（CDF） ​

4.1 定义 ​

4.2 CDF 的用法 ​

5. 连续随机变量 ​

5.1 连续概率函数 ​

5.2 单点概率为 0 ​

5.3 连续 CDF ​

6. 直方图与密度 ​

7. 本章知识图谱 ​

8. 易错点与考点 ​

9. 关键公式速查表 ​

10. 学习建议 ​

11. 二项分布例题群 ​

11.1 磁盘驱动器例子：二项模型的四个检查点 ​

11.2 PM-17 药物例子：二项分布与决策错误 ​

11.3 Stanley Cup 例子：不是所有二项题都直接数总成功数 ​

11.4 SAT 挑战例子：两个独立二项变量比较 ​

12. 超几何分布例题群 ​

12.1 “不放回”为什么改变模型？ ​

12.2 Hung jury 例子 ​

12.3 彩票号码例子：别被相对频率误导 ​

12.4 审计抽样例子：用补集简化尾概率 ​

13. 随机变量、CDF 与连续密度例题 ​

13.1 离散随机变量的压缩作用 ​

13.2 CDF 处理最大值 ​

13.3 连续密度不是概率 ​

13.4 密度缩放直方图 ​

14. 本章复习清单 ​

15. 综合深化：从分布计算到统计决策 ​

15.1 二项阈值规则已经包含两类错误 ​

15.2 无放回抽样的三个模型识别例子 ​

15.3 系列赛长度提醒我们检查 i.i.d. 假设 ​

15.4 连续密度的可视化尺度 ​