第 12 章：双样本推断（Two-Sample Inferences）

本章研究两个总体之间的比较：均值是否相等？方差是否相等？两个比例是否相等？对应的置信区间如何构造？

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0. 本章定位

第 10 章解决单个正态总体的均值和方差推断。
第 12 章把问题扩展到两个独立样本：

$$X_1,\dots ,X_n$$

和

$$Y_1,\dots ,Y_m$$

核心对象从单个参数变成参数差或参数比：

$${\mu }_X-{\mu }_Y,\frac{{\sigma }_X^2}{{\sigma }_Y^2},p_X-p_Y$$

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1. 两样本均值检验：等方差情形

1.1 模型假设

设两组样本独立：

$$X_i\sim N({\mu }_X,{\sigma }^2),Y_j\sim N({\mu }_Y,{\sigma }^2)$$

注意这里假设两组方差相同。

1.2 pooled variance

两个样本方差分别为 $S_X^2,S_Y^2$，合并方差为：

$$\boxed{{\displaystyle S_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}}}$$

这是对共同方差 ${\sigma }^2$ 的估计。

1.3 两样本 t 统计量

$$\boxed{{\displaystyle T=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_X-{\mu }_Y)}{S_p\sqrt{1/n+1/m}}\sim t_{n+m-2}}}$$

检验

$$H_0:{\mu }_X={\mu }_Y$$

时使用：

$$\boxed{{\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\overline{y}}{s_p\sqrt{1/n+1/m}}}}$$

1.4 单边与双边

右尾：

$$H_1:{\mu }_X>{\mu }_Y,t\ge t_{\alpha ,n+m-2}$$

左尾：

$$H_1:{\mu }_X<{\mu }_Y,t\le -t_{\alpha ,n+m-2}$$

双尾：

$$H_1:{\mu }_X\ne {\mu }_Y,|t|\ge t_{\alpha /2,n+m-2}$$

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2. Behrens-Fisher 问题：不等方差情形

当 ${\sigma }_X^2\ne {\sigma }_Y^2$，不能使用 pooled variance。

使用 Welch 统计量：

$$\boxed{{\displaystyle W=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_X-{\mu }_Y)}{\sqrt{S_X^2/n+S_Y^2/m}}}}$$

近似服从 $t_{\nu }$，自由度用 Welch-Satterthwaite 近似：

$$\boxed{{\displaystyle \nu \approx \frac{(S_X^2/n+S_Y^2/m{)}^2}{\frac{(S_X^2/n{)}^2}{n-1}+\frac{(S_Y^2/m{)}^2}{m-1}}}}$$

实际数据分析中，Welch 两样本 $t$ 检验通常比强行等方差更稳健。

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3. 两总体方差比较：F 检验

3.1 基本分布

若两组正态样本独立，则

$$\frac{S_X^2/{\sigma }_X^2}{S_Y^2/{\sigma }_Y^2}\sim F_{n-1,m-1}$$

检验：

$$H_0:{\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2$$

统计量：

$$\boxed{{\displaystyle F=\frac{S_X^2}{S_Y^2}}}$$

在 $H_0$ 下：

$$F\sim F_{n-1,m-1}$$

3.2 备择方向

右尾：

$$H_1:{\sigma }_X^2>{\sigma }_Y^2$$

拒绝：

$$F\ge F_{1-\alpha ,n-1,m-1}$$

左尾：

$$H_1:{\sigma }_X^2<{\sigma }_Y^2$$

双尾时两边都要看。

注意：F 检验对正态性很敏感。若数据明显非正态，要谨慎。

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4. 两个比例比较：$H_0:p_X=p_Y$

4.1 数据结构

两组 Bernoulli / Binomial 数据：

$${\hat{p}}_X=\frac{X}{n},{\hat{p}}_Y=\frac{Y}{m}$$

检验：

$$H_0:p_X=p_Y$$

4.2 pooled estimate

在 $H_0$ 下两个比例相同，记为 $p$，用合并估计：

$$\boxed{{\displaystyle \hat{p}=\frac{X+Y}{n+m}}}$$

4.3 z 统计量

$$\boxed{{\displaystyle Z=\frac{{\hat{p}}_X-{\hat{p}}_Y}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n+1/m)}}\approx N(0,1)}}$$

根据备择方向选择右尾、左尾或双尾。

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5. 两样本均值差的置信区间

5.1 等方差正态情形

$$\boxed{{\displaystyle {\mu }_X-{\mu }_Y\in (\overline{x}-\overline{y})\pm t_{\alpha /2,n+m-2}{s}_p\sqrt{1/n+1/m}}}$$

若区间不包含 0，与双侧 $t$ 检验拒绝 $H_0:{\mu }_X={\mu }_Y$ 一致。

5.2 不等方差情形

使用 Welch 标准误：

$$\boxed{{\displaystyle (\overline{x}-\overline{y})\pm t_{\alpha /2,\nu }\sqrt{s_X^2/n+s_Y^2/m}}}$$

其中 $\nu$ 为 Welch 近似自由度。

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6. 方差比的置信区间

由

$$\frac{S_X^2/{\sigma }_X^2}{S_Y^2/{\sigma }_Y^2}\sim F_{n-1,m-1}$$

可得：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{{\sigma }_X^2}{{\sigma }_Y^2}\in [\frac{s_X^2/s_Y^2}{F_{1-\alpha /2,n-1,m-1}},\frac{s_X^2/s_Y^2}{F_{\alpha /2,n-1,m-1}}]}}$$

不同教材对 $F_{\alpha }$ 记号可能使用“右尾”或“左尾”约定，使用表格时要确认分位数定义。

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7. 两比例差的置信区间

置信区间不使用 $H_0$ 下的 pooled 估计，而使用各自样本比例：

$$\boxed{{\displaystyle p_X-p_Y\in ({\hat{p}}_X-{\hat{p}}_Y)\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{{\hat{p}}_X(1-{\hat{p}}_X)}{n}+\frac{{\hat{p}}_Y(1-{\hat{p}}_Y)}{m}}}}$$

检验时 pooled，区间时 unpooled，这是常见考点。

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8. 本章知识图谱

                        双样本推断
                            |
       ┌────────────────────┼────────────────────┐
       |                    |                    |
    均值比较              方差比较              比例比较
       |                    |                    |
 等方差 -> pooled t       F test               pooled z test
       |                    |                    |
 不等方差 -> Welch t      方差比CI             p_X-p_Y CI
       |
 μ_X-μ_Y CI
       |
 paired? -> 不属于独立双样本，回到差值的一样本 t

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9. 易错点与考点

误区	正确认识
两组数据一定独立	配对数据不能用本章独立两样本公式
方差不等也用 pooled t	应使用 Welch t 检验
两比例 CI 使用 pooled 比例	检验用 pooled，CI 通常用各自比例
F 检验不要求正态	F 检验强依赖正态性
两样本 t 自由度是 $n+m$	等方差情形是 $n+m-2$
CI 包含 0 还能双侧拒绝	同一设定下，包含 0 通常对应不拒绝

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10. 关键公式速查表

内容	公式
pooled variance	$S_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}$
等方差 t	$\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{S_p\sqrt{1/n+1/m}}$
Welch t	$\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{\sqrt{S_X^2/n+S_Y^2/m}}$
Welch df	$\frac{(S_X^2/n+S_Y^2/m{)}^2}{(S_X^2/n{)}^2/(n-1)+(S_Y^2/m{)}^2/(m-1)}$
F 检验	$F=S_X^2/S_Y^2$
两比例 pooled	$\hat{p}=(X+Y)/(n+m)$
两比例 z	$\frac{{\hat{p}}_X-{\hat{p}}_Y}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n+1/m)}}$
两比例 CI SE	$\sqrt{{\hat{p}}_X(1-{\hat{p}}_X)/n+{\hat{p}}_Y(1-{\hat{p}}_Y)/m}$

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11. 学习建议

1. 先判断是否独立；配对数据要转成差值。
2. 均值比较先判断方差是否可认为相等。
3. 方差比较用 F，但要检查正态假设。
4. 比例检验记住 pooled；比例区间记住 unpooled。
5. 所有双样本问题都围绕三类参数：差 ${\mu }_X-{\mu }_Y$、比 ${\sigma }_X^2/{\sigma }_Y^2$、差 $p_X-p_Y$。

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12. 专题深化：两独立样本均值，等方差情形

设两组独立正态样本：

$$X_1,\dots ,X_n\sim N({\mu }_X,{\sigma }^2),$$$$Y_1,\dots ,Y_m\sim N({\mu }_Y,{\sigma }^2).$$

共同方差 ${\sigma }^2$ 未知，但假定两组相同。

12.1 差值均值的分布

因为两组独立，

$$\overline{X}-\overline{Y}\sim N({\mu }_X-{\mu }_Y,{\sigma }^2(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})).$$

若 $\sigma$ 已知，可直接用 z 统计量：

$$Z=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_X-{\mu }_Y)}{\sigma \sqrt{1/n+1/m}}.$$

但实际中 $\sigma$ 通常未知。

12.2 pooled variance

等方差假设下，两组样本方差都估计同一个 ${\sigma }^2$。合并估计为

$$S_p^2=\frac{(n-1)S_X^2+(m-1)S_Y^2}{n+m-2}.$$

权重来自自由度。因为

$$\frac{(n-1)S_X^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n-1}^2,\frac{(m-1)S_Y^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{m-1}^2,$$

两者独立相加后，

$$\frac{(n+m-2)S_p^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }_{n+m-2}^2.$$

12.3 pooled t 统计量

因此

$$T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_X-{\mu }_Y)}{S_p\sqrt{1/n+1/m}}\sim t_{n+m-2}.$$

检验

$$H_0:{\mu }_X-{\mu }_Y={\mathrm{\Delta }}_0$$

时使用

$$t=\frac{(\overline{x}-\overline{y})-{\mathrm{\Delta }}_0}{s_p\sqrt{1/n+1/m}}.$$

置信区间为

$$(\overline{x}-\overline{y})\pm t_{\alpha /2,n+m-2}{s}_p\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}.$$

12.4 Twain/Snodgrass 类署名例题的读法

文本分析中常用词频、句长或文本指标判断两组作者风格是否相同。变量通常是定量指标，分组是作者或文本来源。

做题步骤：

1. 确认两个样本是否独立；
2. 明确参数是 ${\mu }_X-{\mu }_Y$；
3. 判断能否假定等方差；
4. 选择 pooled t 或 Welch t；
5. 用 CI 或检验结论解释“是否有证据表明两组均值不同”。

统计结论只能说数据支持或不支持差异，不能单凭一个检验直接证明作者身份。

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13. 专题深化：Welch 检验与 Behrens-Fisher 问题

若两组方差不能认为相等，则模型为

$$X_i\sim N({\mu }_X,{\sigma }_X^2),Y_j\sim N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2).$$

此时标准误估计为

$$SE=\sqrt{\frac{S_X^2}{n}+\frac{S_Y^2}{m}}.$$

Welch 统计量为

$$T=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_X-{\mu }_Y)}{\sqrt{S_X^2/n+S_Y^2/m}}.$$

它不再精确服从简单的 t 分布，需要使用 Satterthwaite 自由度近似：

$$\nu =\frac{(S_X^2/n+S_Y^2/m{)}^2}{(S_X^2/n{)}^2/(n-1)+(S_Y^2/m{)}^2/(m-1)}.$$

13.1 何时优先用 Welch

实践中，Welch 通常更稳健，尤其当：

1. 两组样本量差异明显；
2. 两组样本方差差异明显；
3. 没有强理由相信总体方差相等。

pooled t 在等方差成立时更简洁，但等方差假设错时可能导致 Type I error 失控。

13.2 Welch 区间

置信区间为

$$(\overline{x}-\overline{y})\pm t_{\alpha /2,\nu }\sqrt{\frac{s_X^2}{n}+\frac{s_Y^2}{m}}.$$

这里自由度 $\nu$ 通常不是整数，软件会直接计算。

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14. 专题深化：方差比推断

14.1 F 统计量

若两组来自正态总体且独立，则

$$\frac{S_X^2/{\sigma }_X^2}{S_Y^2/{\sigma }_Y^2}\sim F_{n-1,m-1}.$$

检验

$$H_0:{\sigma }_X^2={\sigma }_Y^2$$

时，统计量为

$$F=\frac{S_X^2}{S_Y^2}.$$

若备择是 ${\sigma }_X^2>{\sigma }_Y^2$，拒绝域在右尾；若备择是 ${\sigma }_X^2<{\sigma }_Y^2$，拒绝域在左尾；双尾则看两端。

14.2 方差比置信区间

对方差比

$$\frac{{\sigma }_X^2}{{\sigma }_Y^2}$$

的区间来自

$$\frac{S_X^2/S_Y^2}{{\sigma }_X^2/{\sigma }_Y^2}\sim F_{n-1,m-1}.$$

反解可得形如

$$[\frac{s_X^2/s_Y^2}{F_{\alpha /2,n-1,m-1}},\frac{s_X^2/s_Y^2}{F_{1-\alpha /2,n-1,m-1}}]$$

的区间。具体上下尾记号取决于教材使用右尾还是左尾分位数，复习时要在全文中保持同一种分位数记法。

14.3 正态性警告

F 检验对正态性很敏感。若总体重尾或明显偏态，方差检验可能非常不稳健。

实际分析中，经常结合图形检查、稳健方法或置换/自助法。

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15. 专题深化：两比例推断

设

$$X\sim Bin(n,p_X),Y\sim Bin(m,p_Y)$$

相互独立。目标是比较

$$p_X-p_Y.$$

15.1 两比例置信区间

样本比例为

$${\hat{p}}_X=\frac{X}{n},{\hat{p}}_Y=\frac{Y}{m}.$$

大样本下，

$${\hat{p}}_X-{\hat{p}}_Y\approx N(p_X-p_Y,\frac{p_X(1-p_X)}{n}+\frac{p_Y(1-p_Y)}{m}).$$

区间估计通常使用 unpooled 标准误：

$$SE=\sqrt{\frac{{\hat{p}}_X(1-{\hat{p}}_X)}{n}+\frac{{\hat{p}}_Y(1-{\hat{p}}_Y)}{m}}.$$

置信区间：

$$({\hat{p}}_X-{\hat{p}}_Y)\pm z_{\alpha /2}SE.$$

15.2 两比例检验为什么用 pooled

检验

$$H_0:p_X=p_Y$$

时，原假设认为两组共享同一个比例 $p$。因此用合并估计

$$\hat{p}=\frac{X+Y}{n+m}.$$

检验统计量为

$$Z=\frac{{\hat{p}}_X-{\hat{p}}_Y}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n+1/m)}}.$$

重点：

任务	标准误
CI for $p_X-p_Y$	unpooled
Test $H_0:p_X=p_Y$	pooled

15.3 Carbolic acid 类例题的读法

如果题目中出现两组病人、两种处理、两组成功/失败计数，数据结构通常是两个独立二项样本。

做题步骤：

1. 写出 $x,n,y,m$；
2. 计算 ${\hat{p}}_X,{\hat{p}}_Y$；
3. 明确目标是区间还是检验；
4. 区间用 unpooled SE；
5. 检验 $p_X=p_Y$ 用 pooled SE；
6. 解释差异方向和统计显著性。

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16. 专题深化：配对样本作为单样本问题

虽然本章标题是双样本，但配对数据不能直接当作两个独立样本。

设每个对象有两个测量：

$$(X_i,Y_i),i=1,\dots ,n.$$

定义差值：

$$D_i=X_i-Y_i.$$

问题变为

$$H_0:{\mu }_D=0.$$

使用单样本 t 统计量：

$$T=\frac{\overline{D}}{S_D/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$$

在正态差值假设下成立。

配对设计的关键是利用同一个对象内的相关性。若 $X_i,Y_i$ 正相关，则差值方差可能显著小于独立比较的方差，从而提高检验功效。

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17. 本章复习清单

核心内容	复习时要能做到
两独立样本均值	会写 $\overline{X}-\overline{Y}$ 的均值和方差
pooled variance	能解释自由度权重
pooled t	知道等方差下自由度为 $n+m-2$
Welch t	会写标准误和近似自由度
等方差判断	知道样本量不平衡时 Welch 更稳健
方差比	会构造 F 统计量
F 检验	知道强依赖正态性
两比例 CI	使用 unpooled 标准误
两比例检验	使用 pooled 比例
配对样本	会转成差值做单样本 t
结果解释	能区分统计显著与实际意义

18. 综合深化：实例、稳健性与报告规范

18.1 作者识别中的合并方差 t 检验

比较马克·吐温与斯诺格拉斯文章中三字母词比例时，在独立、近似正态且两总体方差相等的模型下，可用 pooled t 检验。该例计算得到 $t=3.88$，表明两组均值相对于组内波动相差较大。

这个结论依赖“文章是合适的独立抽样单位”等设计假设。统计显著只能说明所选语言特征的总体均值存在证据差异，不能单凭一个指标完成作者身份认定。

18.2 为什么通常优先 Welch 检验

传统流程常先做 F 检验，再根据方差是否显著不同选择 pooled 或 Welch t 检验。但这种数据驱动的两阶段选择会改变整体检验性质，而且 F 检验对非正态性敏感。Welch 检验在方差相等时效率损失通常很小，在方差不等且样本量不平衡时更可靠，因此实践中可把 Welch 作为独立两样本均值比较的默认选择；只有等方差假设有充分设计或学科依据时再采用 pooled 方法。

18.3 李斯特消毒手术：两比例检验

消毒组 $34/40$ 存活，未消毒组 $19/35$ 存活。检验 $H_0:p_1=p_2$ 时，零假设下采用合并比例

$$\hat{p}=\frac{34+19}{40+35}=\frac{53}{75}.$$

统计量为

$$Z=\frac{34/40-19/35}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/40+1/35)}}\approx 2.9.$$

在单侧 5% 水平下拒绝“存活率相同”。同时还应报告风险差

$$\widehat{p_1-p_2}\approx 0.307,$$

它比单独报告 p-value 更直观地表达效果大小。历史数据的非随机化、同期医疗条件等仍会影响因果解释。

18.4 “没有显著差异”不等于“完全相同”

在男女性噩梦比例的例子中，标准化统计量约为 $0.62$，证据不足以拒绝两比例相等。正确表述是“当前样本未提供足够差异证据”，而不是证明两个总体比例完全相同。若目标是证明差异足够小，应预先给定实际等价界并进行等价性检验。

18.5 区间与检验的对偶关系

对同一模型、同一标准误和同一双侧显著性水平，检验 $H_0:\theta ={\theta }_0$ 在水平 $\alpha$ 下拒绝，当且仅当 $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 置信区间不包含 ${\theta }_0$。区间还同时展示方向、效果量与精度，因此结果报告通常应以估计值和区间为主体，以 p-value 为补充。

配对设计也遵循同一原则：先把每对数据转成差值，再对差值均值构造单样本 t 区间与检验。不能把配对数据误用独立两样本公式。