第 11 章：数据类型概览（Types of Data）

这一章不是推公式，而是教你“拿到一组数据时应该用哪类统计方法”。它是从概率推断走向实际数据分析的分流图。

0. 本章定位

很多统计错误不是公式算错，而是一开始选错了模型。
本章用四个问题给数据分类：

观测是定量还是定性？
单位是相似还是不相似？
有几个 factor levels？
观测之间独立还是相关？

由此决定使用：

两样本 / 多样本比较；
配对检验；
随机区组设计；
回归分析；
分类数据分析。

1. 基本概念

1.1 因子与因子水平

因子（factor）：施加到研究对象上的处理，或研究对象自身的某个特征。

例：

吸烟程度；
药物剂量；
性别；
实验处理方法。

因子水平（factor levels）：同一个因子的不同取值或类别。

例如吸烟程度有四个水平：

不吸烟 / 轻度吸烟 / 中度吸烟 / 重度吸烟

1.2 独立与相关观测

若两个观测没有共享结构，称为独立。

若两个观测来自同一个人、同一组、同一区块、同一匹配对，则通常相关。

例：

男生组与女生组随机抽样：独立；
同一个人治疗前后测量：相关；
同一实验对象接受多个处理：相关；
同一 block 内不同处理结果：相关。

1.3 相似单位与不相似单位

相似单位：观测值单位相同，通常用于比较不同处理或群体。

例：不同吸烟组的心率。

不相似单位：变量单位不同，通常研究关系。

例：广告预算与销售额。
这类问题通常进入回归分析。

1.4 定量与定性

定量变量：数值型，可计算均值、方差。

定性变量：类别型，例如正常/异常、早期/晚期、支持/反对。

分类数据往往用列联表和卡方检验。

2. 数据类型判断流程

                         一组数据
                            |
             ┌──────────────┴──────────────┐
             |                             |
          定量数据                       定性数据
             |                             |
   ┌─────────┴─────────┐               分类数据
   |                   |                  |
单位相似             单位不相似          列联表
   |                   |                  |
比较均值/方差          回归分析         独立性检验
   |
看 factor levels 与依赖结构
   |
 2水平独立 -> 两样本
 2水平相关 -> 配对数据
 k水平独立 -> k-sample / ANOVA
 k水平相关 -> 随机区组

3. k-sample 数据

3.1 使用场景

k-sample 数据用于比较 $k$ 个因子水平下的定量响应。

第 $j$ 个因子水平中第 $i$ 个观测记为：

Y_{i j}

其中：

$j = 1, \dots, k$ ；
$i = 1, \dots, n_{j}$ ；
$n_{j}$ 是第 $j$ 组样本量。

3.2 目标

通常检验：

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = \dots = μ_{k}

备择是至少一个均值不同。

当 $k = 2$ 且两组独立时，就是两样本问题；当 $k > 2$ 时进入 ANOVA。

4. 配对数据

4.1 使用场景

配对数据有两个因子水平，但观测成对相关。

常见例子：

同一对象治疗前后；
左右手比较；
两种方法测量同一批对象；
按年龄、性别等匹配后的两组。

4.2 分析方法

把每一对转化为差值：

D_{i} = X_{i} - Y_{i}

然后对差值做单样本分析：

H_{0} : E (D) = 0

所以配对 $t$ 检验本质上是对差值的单样本 $t$ 检验。

4.3 为什么不能当独立两样本？

因为同一对内部共享个体特征或环境因素。
忽略相关性会浪费信息，甚至导致标准误错误。

5. 随机区组数据

5.1 与配对数据的关系

随机区组数据是配对数据的多水平版本：

配对数据：每个 block 内有 2 个处理水平；
随机区组：每个 block 内有 3 个或更多处理水平。

5.2 模型直觉

观测可写为：

Y_{i j} = μ_{j} + B_{i} + ε_{i j}

其中：

$μ_{j}$ 是第 $j$ 个处理水平的平均效果；
$B_{i}$ 是第 $i$ 个 block 的影响；
$ε_{i j}$ 是随机误差。

区组设计的目的：把 block 差异单独拿出来，减少误差，提高比较处理效果的能力。

6. 回归数据

6.1 使用场景

当观测变量单位不相似，且目标是研究变量间关系时，进入回归。

典型数据形式：

(x_{i}, Y_{i}), i = 1, \dots, n

其中：

$x_{i}$ 是解释变量/自变量/特征；
$Y_{i}$ 是响应变量/因变量。

6.2 简单线性回归

Y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ε_{i}

6.3 多元线性回归

Y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i 1} + \dots + β_{p} x_{i p} + ε_{i}

第 13 章会系统展开回归与 Lasso。

7. 分类数据

7.1 使用场景

若两个变量都是定性变量，就得到分类数据。

例如：

感染时间：早期/晚期；
结果：正常/异常。

7.2 列联表

若一个变量有 $R$ 类，另一个有 $C$ 类，则数据可放入 $R \times C$ 列联表。

核心问题通常是：

H_{0} : X 与 Y 独立

备择：

H_{1} : X 与 Y 相关

后续通常使用卡方独立性检验。

8. 本章知识图谱

                         数据类型
                            |
       ┌────────────────────┼────────────────────┐
       |                    |                    |
    变量性质              单位结构              依赖结构
       |                    |                    |
 定量 / 定性            相似 / 不相似          独立 / 相关
       |                    |                    |
 定量+相似              不相似 -> 回归         相关 -> 配对/区组
       |
 看 factor levels
       |
 2水平独立 -> 两样本推断
 k水平独立 -> k-sample / ANOVA
 2水平相关 -> paired data
 k水平相关 -> randomized block
 定性变量 -> categorical data / contingency table

9. 易错点与考点

误区	正确认识
只要有两组就用独立两样本检验	若观测成对相关，应使用配对分析
所有数字都是定量变量	编码后的类别仍是定性变量
单位不同也直接比较均值	单位不同通常研究关系，用回归
k-sample 只用于 $k = 2$	$k$ 可以大于 2，常引出 ANOVA
随机区组和独立多样本一样	区组内观测相关，要建模 block 效应
分类数据用均值比较	分类数据通常用比例、列联表、卡方检验

10. 快速判断表

数据特征	常用方法
定量、相似单位、两组独立	两样本 $t$ 检验
定量、相似单位、两组相关	配对 $t$ 检验
定量、相似单位、多组独立	k-sample / ANOVA
定量、相似单位、多组相关	随机区组设计
定量、不相似单位	回归分析
两个定性变量	列联表 / 独立性检验
一个定性响应、一个或多个解释变量	分类模型，如 logistic 回归

11. 学习建议

拿到数据先不要套公式，先问四个分类问题。
区分“比较组均值”和“研究变量关系”。
看到同一个对象重复测量，优先考虑相关结构。
看到类别变量，优先考虑列联表和比例。
本章可以当作后续方法选择的路线图，建议和第 12、13 章一起看。

12. 专题深化：从数据结构选择统计方法

本章的核心不是公式，而是建模前的判断。本章的作用像一张路线图：先看数据是什么，再决定该用哪类推断方法。

12.1 四个第一问题

拿到一个数据集，先问：

响应变量是定量还是定性？
解释变量是定量还是定性？
观测之间是否独立？
研究目标是比较、关联、预测还是解释？

这四个问题通常比“该用哪个公式”更先发生。

12.2 定量变量与定性变量

定量变量可以进行数值加减，差值和比例有实际意义。例子：

变量	类型
身高	定量
收入	定量
反应时间	定量
血压	定量

定性变量表示类别。即使它用数字编码，也不代表它是定量变量。

变量	类型
性别编码 0/1	定性
疾病类型 1/2/3	定性
专业类别	定性
是否购买	定性

判断标准不是“看起来是不是数字”，而是“数字之间的加减是否有意义”。

12.3 因子、水平与实验单位

在实验设计语言中：

术语	含义
factor	研究者操控或比较的分类变量
level	factor 的具体取值
experimental unit	接受处理的基本对象
response	最终测量结果

例如比较三种肥料对产量的影响：

factor 是肥料类型；
levels 是 A、B、C 三种肥料；
experimental unit 是地块；
response 是产量。

如果实验单位判断错了，独立性和样本量都会被误判。

13. 专题深化：比较均值的设计类型

13.1 两独立样本

问题形式：

组 A 均值是否不同于组 B 均值？

模型可写为

Y_{i j} = μ_{i} + ε_{i j}, i = 1, 2.

如果两组观测来自不同个体，且组间组内独立，使用两样本 t 推断。

例子：

研究问题	响应	分组
新旧药物疗效比较	血压下降值	药物类型
两种教学方法比较	考试分数	教学方法

13.2 配对样本

若每个对象提供两个相关观测，应该转成差值：

D_{i} = X_{i} - Y_{i} .

然后对

μ_{D}

做单样本 t 推断。

例子：

场景	为什么配对
治疗前后血压	同一个人重复测量
左右眼指标	同一个受试者两只眼
双胞胎对照	天然匹配

配对设计的优势是去除个体差异；错误地当作独立样本会浪费信息，甚至得到错误标准误。

13.3 k 个独立样本

当组数 $k > 2$ 时，不能简单做大量两两 t 检验，因为 Type I error 会累积。

常用模型：

Y_{i j} = μ + τ_{i} + ε_{i j}, i = 1, \dots, k .

其中 $τ_{i}$ 是第 $i$ 组处理效应。

检验目标通常是

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = \dots = μ_{k} .

这会引出 ANOVA。

13.4 随机区组设计

随机区组设计用于处理已知的异质性来源。模型形式可写为

Y_{i j} = μ + τ_{i} + β_{j} + ε_{i j},

其中：

$τ_{i}$ 是处理效应；
$β_{j}$ 是区组效应；
同一区组内的观测更可比。

例子：多个农田区块中比较肥料。每个区块都施用所有肥料，区块本身肥力差异通过 $β_{j}$ 控制。

14. 专题深化：关系建模与分类数据

14.1 回归问题

当解释变量是定量变量，或研究目标是变量关系时，通常进入回归。

简单线性回归：

Y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i} + ε_{i} .

研究问题：

问题	对应参数
$x$ 增加时 $Y$ 是否线性变化	$β_{1}$
预测给定 $x$ 下的平均响应	$β_{0} + β_{1} x$
控制多个变量后的边际效应	多元回归系数

这部分在第 13 章展开。

14.2 分类响应变量

如果响应变量是类别，不能直接套普通均值模型。

二分类响应：

Y \in {0, 1}

常用比例、风险差、odds ratio 或 logistic 回归。

多分类响应可用列联表、multinomial 模型等。

14.3 列联表

两个定性变量的关系常用列联表表示。

例如：

	患病	未患病
暴露	$n_{11}$	$n_{12}$
未暴露	$n_{21}$	$n_{22}$

常见问题：

两个变量是否独立？
不同组的比例是否相同？
暴露是否改变患病风险？

后续会连接卡方独立性检验和两比例检验。

14.4 方法选择流程图

响应变量	解释变量/设计	常见方法
定量	一个总体	单样本 t
定量	两独立组	两样本 t / Welch
定量	配对观测	配对 t
定量	多独立组	ANOVA
定量	区组结构	随机区组 / repeated measures
定量	定量解释变量	回归
定性	一个比例	单比例推断
定性	两组比例	两比例推断
定性	两个分类变量	列联表 / 卡方检验

15. 本章复习清单

核心内容	复习时要能做到
定量/定性变量	能判断数字编码是否只是类别
factor/level/unit	能区分处理因素、水平和实验单位
独立两样本	知道用两样本 t 或 Welch
配对样本	会转化为差值做单样本推断
k-sample	知道会引向 ANOVA
随机区组	能解释 block effect 的作用
回归	知道用于定量关系和预测
分类响应	知道不能直接套普通均值模型
列联表	会组织两个定性变量的数据
方法选择	能根据数据结构选后续章节方法

16. 综合深化：从研究问题识别数据结构

16.1 数字编码不等于定量变量

变量类型取决于数值所承载的关系，而不是存储格式：

名义变量只有相同或不同，如血型、地区；编码为 1、2、3 后仍不能计算有意义的均值。
有序变量存在次序，如疾病轻、中、重，但相邻等级之间的距离未必相等。
定量变量的差值具有可解释的单位；若零点也有实际含义，还可比较倍数。

响应变量为有序类别时，可考虑累积 logit 等有序分类模型；无序多类别响应则适合多项 logit。把类别编号后直接做线性回归，会人为强加等距结构。

16.2 独立样本、配对样本与重复测量

判断关键不是“有两列数据”，而是观测单位是否共享：

两组由不同个体构成且抽样相互独立，是独立两样本。
同一对象处理前后各测一次，或对象按关键特征一一匹配，是配对数据。
同一对象在三个以上条件或时间点反复测量，是重复测量或随机区组结构。

配对分析对差值 $D_{i} = X_{i} - Y_{i}$ 建模，可消去共同的个体效应。若忽略配对关系，会把个体间变异混入误差，通常损失功效；反之，把不相关个体硬配对也不会凭空产生信息。

16.3 观察性研究中的混杂

比较吸烟者与不吸烟者的心率时，年龄、运动水平、药物使用等变量可能同时影响吸烟状态与心率，形成混杂。匹配、分层和回归调整可改善可比性；倾向评分与工具变量用于更复杂的观察性设计。但这些方法都依赖额外的可识别假设，不能把条件相关自动升级为因果效应。

随机分配的价值在于使处理与潜在混杂因素在设计上独立。无法随机化时，应明确处理分配机制、时间顺序、遗漏变量风险和目标因果量。

16.4 方法选择的逐层判断

可按以下顺序识别分析结构：

明确响应变量是定量、二分类、有序还是无序多分类。
明确观测单位及同一单位是否被重复测量。
明确处理或分组因子有几个水平。
判断目标是单总体参数、组间比较、变量关联、预测还是因果效应。
再检查分布、方差齐性、独立性与缺失机制等假设。

由此可对应到单样本推断、独立两样本、配对检验、ANOVA、随机区组、回归或列联表分析。方法名称应由研究设计和目标决定，而不是只由数据表的列数决定。

16.5 因子、水平与实验单位

“因子”是研究中被操纵或比较的变量，“水平”是因子的具体取值，“实验单位”是被独立分配处理的最小单位。显著性检验的有效样本量由独立实验单位决定，而不是由技术重复次数决定；把同一单位的多次测量当作独立样本会造成伪重复并低估标准误。

第 11 章：数据类型概览（Types of Data） ​

0. 本章定位 ​

1. 基本概念 ​

1.1 因子与因子水平 ​

1.2 独立与相关观测 ​

1.3 相似单位与不相似单位 ​

1.4 定量与定性 ​

2. 数据类型判断流程 ​

3. k-sample 数据 ​

3.1 使用场景 ​

3.2 目标 ​

4. 配对数据 ​

4.1 使用场景 ​

4.2 分析方法 ​

4.3 为什么不能当独立两样本？ ​

5. 随机区组数据 ​

5.1 与配对数据的关系 ​

5.2 模型直觉 ​

6. 回归数据 ​

6.1 使用场景 ​

6.2 简单线性回归 ​

6.3 多元线性回归 ​

7. 分类数据 ​

7.1 使用场景 ​

7.2 列联表 ​

8. 本章知识图谱 ​

9. 易错点与考点 ​

10. 快速判断表 ​

11. 学习建议 ​

12. 专题深化：从数据结构选择统计方法 ​

12.1 四个第一问题 ​

12.2 定量变量与定性变量 ​

12.3 因子、水平与实验单位 ​

13. 专题深化：比较均值的设计类型 ​

13.1 两独立样本 ​

13.2 配对样本 ​

13.3 k 个独立样本 ​

13.4 随机区组设计 ​

14. 专题深化：关系建模与分类数据 ​

14.1 回归问题 ​

14.2 分类响应变量 ​

14.3 列联表 ​

14.4 方法选择流程图 ​

15. 本章复习清单 ​

16. 综合深化：从研究问题识别数据结构 ​

16.1 数字编码不等于定量变量 ​

16.2 独立样本、配对样本与重复测量 ​

16.3 观察性研究中的混杂 ​

16.4 方法选择的逐层判断 ​

16.5 因子、水平与实验单位 ​