附录：课堂例题与应用

这组例子来自课堂记录中反复出现的“把问题编码成线性算子”思想。它们不增加新的理论负担，而是展示前 12 章的工具怎样在微分方程、图论、函数逼近和组合设计中重新出现。

1. 幂零微分算子与有限 Neumann 级数

在 ${\mathcal{P}}_n$ 上考虑微分算子 $D(p)=p^{\prime }$。因为任意 $n$ 次多项式求 $n+1$ 次导后为零，

$$D^{n+1}=0.$$

因此 $I-D$ 的逆无需讨论无穷级数收敛：

$$(I-D{)}^{-1}=I+D+D^2+\cdots +D^n.$$

例如在 ${\mathcal{P}}_2$ 中求解

$$y-y^{\prime }=1+x$$

可直接写成

$$y=(I-D{)}^{-1}(1+x)=(I+D+D^2)(1+x)=2+x.$$

验证可得 $(2+x)-1=1+x$。Jordan 理论把这个现象解释为：$D$ 在单项式基下是幂零矩阵，Neumann 级数因幂零而精确截断。

2. 邻接矩阵幂为什么计数路径

图的邻接矩阵 $A$ 满足

$$(A^k{)}_{ij}=\text{从顶点 }i\text{ 到 }j\text{ 的长度 }k\text{ 游走条数}.$$

归纳证明只需观察矩阵乘法：

$$(A^{k+1}{)}_{ij}=\sum _{\ell }(A^k{)}_{i\ell }{a}_{\ell j},$$

即把长度 $k$ 的游走按最后一步来自哪个顶点分类。

完全图 $K_n$ 的邻接矩阵为 $A=\mathbf{1}{\mathbf{1}}^T-I$。令

$$P=\frac{1}{n}\mathbf{1}{\mathbf{1}}^T,$$

则 $P$ 是到常数方向的正交投影，并且

$$A=(n-1)P-(I-P).$$

两个投影正交，所以

$$A^k=(n-1{)}^{k}P+(-1{)}^k(I-P).$$

不用求具体特征向量，就能读出任意两点之间的游走数。这是谱投影比逐项矩阵乘法更强的典型例子。

3. Hilbert 矩阵为什么正定

$n$ 阶 Hilbert 矩阵定义为

$$H_{ij}=\frac{1}{i+j-1}.$$

注意

$$H_{ij}={\int }_0^1{x}^{i-1}{x}^{j-1}dx,$$

所以 $H$ 是函数 $1,x,\dots ,x^{n-1}$ 在 $L^2[0,1]$ 内积下的 Gram 矩阵。对非零向量 $c$，

$$c^{T}Hc={\int }_0^1{\left(\sum _{i=1}^n{c}_i{x}^{i-1}\right)}^{2}dx>0,$$

因为非零多项式不可能在整个区间上恒为零。故 $H\succ 0$。这个证明比直接计算主子式更短，也说明“识别 Gram 结构”常常能自动给出正定性。

Hilbert 矩阵同时高度病态：所选单项式基虽然线性无关，却越来越接近数值相关。正定性保证理论上可逆，却不保证数值上容易求解。

4. 平行四边形恒等式识别内积范数

任何内积诱导范数都满足

$$\parallel x+y{\parallel }^2+\parallel x-y{\parallel }^2=2\parallel x{\parallel }^2+2\parallel y{\parallel }^2.$$

反过来，若一个范数满足此恒等式，就可用极化公式恢复内积。实数域中

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\parallel x+y{\parallel }^2-\parallel x-y{\parallel }^2).$$

因此 ${\ell }_1$ 范数不是内积范数：取 $x=(1,0{)}^T,y=(0,1{)}^T$，左侧为 $2^2+2^2=8$，右侧为 $4$。这说明“具有长度”不必意味着背后存在角度与正交结构。

5. Hadamard 矩阵与行列式上界

若 $H\in \{\pm 1{\}}^{n\times n}$ 满足

$$H{H}^T=nI,$$

则称 $H$ 为 Hadamard 矩阵。它的行两两正交，因而

$$|detH{|}^2=det(H{H}^T)=n^n,|detH|=n^{n/2}.$$

另一方面，Hadamard 行列式不等式指出，若矩阵各行是 $r_i$，则

$$|detA|\le \prod _i\parallel r_i{\parallel }_2,$$

等号恰在各行两两正交时成立。对元素为 $\pm 1$ 的矩阵，每行长度都是 $\sqrt{n}$，所以 $n^{n/2}$ 已是可能的最大行列式。组合设计、纠错码和快速变换由此与正交性、体积最大化发生联系。

6. 使用这些例子的方式

遇到一个看似不属于线性代数的问题，可以依次尝试：

1. 选择合适的向量空间，把对象变成向量；
2. 找到保持结构的线性算子或矩阵；
3. 寻找幂零、投影、正交、低秩或非负等特殊结构；
4. 用相似、合同、SVD 或谱投影把计算降到标量层面；
5. 回到原问题解释矩阵结论的含义。

这正是课堂例题虽然外观差异很大，却总能落回同一组工具的原因。