11 矩阵函数与矩阵指数

1. 好定义必须只依赖函数本身

对多项式 $p(t)=\sum _{k=0}^m{c}_k{t}^k$，自然定义

$$p(A)=\sum _{k=0}^m{c}_k{A}^k.$$

对更一般函数，不能只说“把 $t$ 换成 $A$”：同一函数可能有不同展开，收敛域也可能不同。一个稳健定义是解析函数演算。

若闭曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 包围 $A$ 的全部谱且 $f$ 在曲线内部解析，则

$$f(A)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)(zI-A{)}^{-1}dz.$$

它保证定义只依赖 $f$ 在谱附近的取值，并自动满足相似不变性。

2. 三种计算路径

可对角化矩阵

若 $A=P\mathrm{\Lambda }{P}^{-1}$，则

$$f(A)=P\mathrm{diag}(f({\lambda }_1),\dots ,f({\lambda }_n))P^{-1}.$$

Jordan 形

对 $J=\lambda I+N$，

$$f(J)=\sum _{j=0}^{k-1}\frac{f^{(j)}(\lambda )}{j!}{N}^j.$$

所以函数要在每个特征值处有足够阶的导数，阶数由最大 Jordan 块决定。

插值多项式

由 Cayley–Hamilton，$f(A)$ 总可化为次数小于 $\mathrm{deg}{m}_A$ 的矩阵多项式。只需在每个特征值匹配函数值及必要阶导数，即 Hermite 插值。

3. 矩阵指数

$$e^A=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^k}{k!}.$$

它总是可逆，且 $(e^A{)}^{-1}=e^{-A}$。若 $AB=BA$，则

$$e^{A+B}=e^A{e}^B;$$

不交换时一般不成立。

线性常微分方程

$$x^{\prime }(t)=Ax(t)+Bu(t)$$

的解为

$$x(t)=e^{tA}x(0)+{\int }_0^t{e}^{(t-s)A}Bu(s)ds.$$

因此 $e^{tA}$ 是连续时间线性系统的状态转移矩阵。

4. 平方根、对数与分支

若 $A⪰0$，唯一的半正定平方根由谱分解给出：

$$A^{1/2}=Q\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_i})Q^{\ast }.$$

一般矩阵的平方根和对数可能不存在、可能不唯一，也依赖复平面上的函数分支。使用 $\log A$ 前必须检查谱是否穿过所选分支割线。

5. Lyapunov 方程

若 $A$ 的特征值实部均为负，则连续 Lyapunov 方程

$$AX+X{A}^{\ast }=-Q,Q⪰0$$

有积分表示

$$X={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{tA}Q{e}^{t{A}^{\ast }}dt.$$

该式直接说明 $X⪰0$，并把系统稳定性、矩阵指数与正定矩阵连接起来。

6. 谱映射

在适当条件下，

$$\sigma (f(A))=f(\sigma (A))=\{f(\lambda ):\lambda \in \sigma (A)\}.$$

例如 $\sigma (e^A)=\{e^{\lambda }:\lambda \in \sigma (A)\}$。但“特征值被怎样映射”只描述谱，不足以完全描述非正规矩阵的范数行为。

7. Riesz 谱投影

若闭曲线 $\mathrm{\Gamma }$ 只包围 $A$ 的一部分特征值，定义

$$P_{\mathrm{\Gamma }}={\displaystyle \frac{1}{2\pi i}}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}(zI-A{)}^{-1}dz.$$

这是一个投影：$P_{\mathrm{\Gamma }}^2=P_{\mathrm{\Gamma }}$，并且 $A{P}_{\mathrm{\Gamma }}=P_{\mathrm{\Gamma }}A$。其像空间恰好是曲线内特征值对应的广义特征子空间。若 $A$ 可对角化，则它只是在谱分解中把曲线外的对角项置零；即使 $A$ 不可对角化，定义仍然成立。

Riesz 投影说明围道积分不仅能计算 $f(A)$，还能“选择一簇谱”并取出对应不变子空间。这是谱分解在一般非正规矩阵上的解析版本。

8. 三阶 Jordan 块上的函数

令 $J=\lambda I+N$，其中

$$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^3=0.$$

则

$$e^{tJ}=e^{t\lambda }(I+tN+\frac{t^2}{2}{N}^2),$$

更一般地，

$$f(J)=f(\lambda )I+f^{\prime }(\lambda )N+{\displaystyle \frac{f^{″}(\lambda )}{2}}{N}^2.$$

这也给出次数至多 $2$ 的 Hermite 插值多项式：它在 $\lambda$ 处同时匹配 $f,f^{\prime },f^{″}$。同一个结果既可由幂零 Taylor 展开得到，也可由第 1 章的预解式留数得到。

9. Lyapunov 解为什么唯一

对线性算子

$$\mathcal{L}(X)=AX+X{A}^{\ast },$$

向量化得到

$$\mathrm{vec}(\mathcal{L}(X))=(I\otimes A+\bar{A}\otimes I)\mathrm{vec}(X).$$

其特征值是 ${\lambda }_i(A)+\overline{{\lambda }_j(A)}$。若 $A$ 的全部特征值实部为负，这些和不可能为零，所以 $\mathcal{L}$ 可逆，Lyapunov 方程的解唯一。

对积分表示求导可直接验算：

$$\frac{d}{dt}\left(e^{tA}Q{e}^{t{A}^{\ast }}\right)=A{e}^{tA}Q{e}^{t{A}^{\ast }}+e^{tA}Q{e}^{t{A}^{\ast }}{A}^{\ast }.$$

从 $0$ 到 $\mathrm{\infty }$ 积分，稳定性使无穷远端趋于零，故 $AX+X{A}^{\ast }=-Q$。

关于分支还可更精确地说：任意可逆复矩阵都有某个复对数；若谱不碰非正实轴，则存在唯一的主对数。矩阵平方根也可能有多支；若谱避开非正实轴，则存在唯一的主平方根，其特征值实部为正。

10. 自检

• [ ] 知道为什么幂级数替换不是唯一出发点。
• [ ] 能对一个 Jordan 块计算 $f(J)$。
• [ ] 不在 $AB\ne BA$ 时误用 $e^{A+B}=e^A{e}^B$。
• [ ] 能从积分表示解释 Lyapunov 解的半正定性。
• [ ] 能解释 Riesz 投影如何选出一簇特征值的不变子空间。
• [ ] 能写出 $3\times 3$ Jordan 块上的 $e^{tJ}$。

下一章：非负矩阵与 Perron 理论。