10 仿射几何、凸集与行列式

1. 仿射空间没有指定原点

线性空间中的对象是向量；仿射空间中的对象是点，两个点之差才是向量。非空集合 $\mathcal{A}\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 是仿射集，当且仅当

$$x,y\in \mathcal{A},\alpha \in \mathbb{R}⟹\alpha x+(1-\alpha )y\in \mathcal{A}.$$

任意仿射集都可写成

$$\mathcal{A}=b+V,$$

其中 $V$ 是线性子空间。点 $b$ 的选择不唯一，但方向空间 $V$ 唯一。

2. 仿射变换与齐次坐标

保持仿射组合的映射必有形式

$$F(x)=Ax+b.$$

引入齐次坐标后，平移也能纳入矩阵乘法：

$$\left(\begin{array}{c}y\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& b\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right).$$

于是仿射变换的复合对应扩维矩阵的乘法。

3. 仿射组合、凸组合与重心坐标

若 $\sum _i{\alpha }_i=1$，$\sum _i{\alpha }_i{x}_i$ 是仿射组合；再要求 ${\alpha }_i\ge 0$，就是凸组合。

若 $v_0,\dots ,v_n$ 仿射无关，则任意点 $x$ 在它们张成的仿射空间中有唯一表示

$$x=\sum _{i=0}^n{\alpha }_i{v}_i,\sum _{i=0}^n{\alpha }_i=1.$$

${\alpha }_i$ 是重心坐标。若全部非负，则 $x$ 位于单纯形 $\mathrm{conv}\{v_0,\dots ,v_n\}$ 内。

4. 凸集、极点与分离

集合 $C$ 是凸集，如果它包含任意两点之间的线段。凸包 $\mathrm{conv}(S)$ 是包含 $S$ 的最小凸集。

极点不能写成集合中两个不同点的非平凡凸组合。有限维紧凸集可由其极点的凸包恢复，这是研究多面体与优化问题的几何基础。

若闭凸集 $C$ 与点 $x\notin C$ 分离，则存在 $w\ne 0$ 与 $\alpha$ 使

$$w^{T}x>\alpha \ge w^{T}y,\mathrm{\forall }y\in C.$$

分离超平面把“集合不相交”转化为一个线性不等式证书。

5. 锥、对偶锥与投影

若 $x\in K,\alpha \ge 0\Rightarrow \alpha x\in K$，则 $K$ 是锥。其对偶锥为

$$K^{\ast }=\{y:y^{T}x\ge 0,\mathrm{\forall }x\in K\}.$$

对闭凸锥有双对偶关系 $(K^{\ast }{)}^{\ast }=K$。

闭凸集 $C$ 上的欧氏投影

$${\mathrm{\Pi }}_C(x)=\arg \underset{y\in C}{min}\parallel x-y{\parallel }_2$$

存在且唯一，并满足变分不等式

$$⟨x-{\mathrm{\Pi }}_C(x),y-{\mathrm{\Pi }}_C(x)⟩\le 0,\mathrm{\forall }y\in C.$$

6. 行列式是有向体积

行列式是唯一的交替多线性体积函数，并满足 $detI=1$。列向量 $a_1,\dots ,a_n$ 张成平行多面体的有向体积为

$$det[a_1,\dots ,a_n].$$

因此

$$|detA|$$

是线性变换 $A$ 的体积缩放因子；符号记录定向是否翻转。行列式为零等价于列向量线性相关，也等价于体积塌缩。

Cramer 法则从多线性直接得到，但它更适合作为理论公式，而不是大规模线性系统的数值算法。

7. 重心坐标的手算与插值

取三角形

$$v_0=(0,0),v_1=(1,0),v_2=(0,1).$$

点 $x=(0.2,0.3)$ 的重心坐标满足

$$x=0.5v_0+0.2v_1+0.3v_2.$$

三个系数之和为 $1$ 且都非负，所以 $x$ 位于三角形内部。一般情形可通过齐次线性系统求解：

$$\left(\begin{array}{ccc}{v}_0& v_1& v_2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_0\\ {\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right).$$

若顶点带有颜色、温度或函数值 $c_i$，就用同一组系数插值 $c(x)=\sum _i{\alpha }_i{c}_i$。计算机图形学的三角形着色和有限元中的线性形函数都使用这一机制。

Carathéodory 定理进一步说明：在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，凸包里的任意点最多需要 $n+1$ 个点的凸组合即可表示。若表示使用更多点，它们仿射相关，可以沿一个保持系数和为 $1$ 的方向调整系数，直到至少一个系数降为零。

8. 最近点如何产生分离超平面

设 $C$ 是闭凸集，$x\notin C$，令 $p={\mathrm{\Pi }}_C(x)$。对任意 $y\in C$，线段 $p+t(y-p)$ 仍在 $C$ 中。函数

$$g(t)=\parallel x-p-t(y-p){\parallel }_2^2$$

在 $t=0$ 处达到右侧最小值，所以 $g^{\prime }(0)\ge 0$，即

$$⟨x-p,y-p⟩\le 0.$$

取法向量 $w=x-p$，便有

$$w^{T}x>w^{T}p\ge w^{T}y,y\in C.$$

因此“找最近点”自动构造了一个严格分离点与凸集的超平面。支持向量机的最大间隔几何就是这一证明的优化版本。

9. 面积坐标与鞋带公式

在平面中，三角形 $ABC$ 的重心坐标还能写成有向面积之比：

$${\alpha }_A=\frac{[PBC]}{[ABC]},{\alpha }_B=\frac{[APC]}{[ABC]},{\alpha }_C=\frac{[ABP]}{[ABC]}.$$

这里 $[XYZ]$ 表示由行列式给出的有向面积。沿多边形边界把三角形有向面积相加，得到鞋带公式

$$\mathrm{Area}=\frac{1}{2}|\sum _{i=1}^m(x_i{y}_{i+1}-x_{i+1}{y}_i)|,$$

其中 $(x_{m+1},y_{m+1})=(x_1,y_1)$。重心坐标、行列式和多边形面积因此是同一套有向体积语言。

10. 自检

• [ ] 能解释为什么仿射空间不需要指定零点。
• [ ] 能用齐次坐标表示平移与复合。
• [ ] 能区分仿射组合与凸组合。
• [ ] 能把分离定理理解为线性证书。
• [ ] 能从体积视角解释行列式为零。
• [ ] 能通过齐次线性系统求三角形重心坐标。
• [ ] 能由最近点的最优性构造分离超平面。

下一章：矩阵函数。