01 复数、复矩阵与复分析

1. 复数首先是一种线性变换

把 $z=a+ib$ 作用在复平面上的“乘法”写成实坐标，就得到

$$\mathrm{\Phi }(z)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$$

这个表示保留加法与乘法：

$$\mathrm{\Phi }(z+w)=\mathrm{\Phi }(z)+\mathrm{\Phi }(w),\mathrm{\Phi }(zw)=\mathrm{\Phi }(z)\mathrm{\Phi }(w).$$

因此乘以 $z=r{e}^{i\theta }$ 的几何意义是“先放大 $r$ 倍，再旋转 $\theta$”。共轭和模也变成矩阵性质：

$$\mathrm{\Phi }(\overline{z})=\mathrm{\Phi }(z{)}^T,det\mathrm{\Phi }(z)=|z{|}^2.$$

这给出一个重要习惯：面对新的代数对象，先问它是否可以用熟悉的线性算子表示。

2. 复矩阵的实化

若 $A=B+iC\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$，定义其实化为

$$\mathcal{R}(A)=\left(\begin{array}{cc}B& -C\\ C& B\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{2m\times 2n}.$$

它把复线性方程 $Az=w$ 变成等价的实线性方程。实化会把每个非实特征值与其共轭一起呈现，也解释了实矩阵的非实特征值为什么成共轭对出现。

3. 代数基本定理与 Schur 分解

代数基本定理保证：$n$ 次复系数多项式按重数计算有 $n$ 个复根。因此每个 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 都有 $n$ 个特征值（计代数重数），但未必有 $n$ 个线性无关的特征向量。

比对角化更普遍的是 Schur 分解：存在酉矩阵 $Q$ 使

$$Q^{\ast }AQ=T,$$

其中 $T$ 为上三角矩阵，对角线就是 $A$ 的特征值。它把“任意复方阵”安全地化到上三角形式，是谱理论和数值计算的共同入口。

4. 为什么课程需要一点复分析

矩阵函数最终要把标量函数 $f$ 作用到矩阵 $A$ 上。为了让定义不依赖某一种幂级数写法，需要使用解析函数的刚性。

设 $f=u+iv$，若 $f$ 在复平面区域内解析，则满足 Cauchy–Riemann 方程

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.$$

对区域内闭曲线 $\mathrm{\Gamma }$，Cauchy 积分公式为

$$f(\xi )=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}\frac{f(z)}{z-\xi }dz.$$

把标量核 $(z-\xi {)}^{-1}$ 换成矩阵的预解式 $(zI-A{)}^{-1}$，就得到第 11 章的矩阵函数定义：

$$f(A)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\mathrm{\Gamma }}f(z)(zI-A{)}^{-1}dz.$$

5. 一个最小例子

令

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right),A^2=-I.$$

于是

$$e^{tA}=I\cos t+A\sin t=\left(\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right).$$

复指数 $e^{it}$、旋转矩阵和矩阵指数其实是同一结构的三种语言。

6. 从一个特征向量到 Schur 分解

Schur 分解的存在性可以用一个很有代表性的归纳法证明。由代数基本定理，$A$ 至少有一个单位特征向量 $q_1$，满足 $A{q}_1={\lambda }_1{q}_1$。把 $q_1$ 扩充成标准正交基并记

$$Q_1=(q_1,Q_2),$$

则

$$Q_1^{\ast }A{Q}_1=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& w^{\ast }\\ 0& A_2\end{array}\right).$$

左下角为零，是因为第一列就是 $Q_1^{\ast }A{q}_1={\lambda }_1{e}_1$。再对低一阶矩阵 $A_2$ 重复同一过程，最终得到上三角矩阵。这个证明揭示了 Schur 分解的本质：不断找一维不变子空间，并在其正交补上继续归纳。

对于实矩阵，非实特征值成共轭对，无法用实正交变换把它们拆成两个实的一维块。实 Schur 形因此允许对角线上出现 $2\times 2$ 块；这正是平面旋转或“旋转加伸缩”的实坐标表示。

7. 友矩阵与预解式：两条通往矩阵函数的路

给定首一多项式

$$p(t)=t^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_0,$$

其友矩阵可取为

$$C_p=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \ddots & 0& -a_2\\ ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right),det(tI-C_p)=p(t).$$

因此多项式求根可以改写成矩阵特征值问题。反过来，特征多项式又把矩阵问题送回多项式。这是“代数对象与线性算子互相编码”的第一个完整例子。

另一条路来自预解式。若 $J=\lambda I+N$ 是 $k$ 阶 Jordan 块，则 $N^k=0$，并且

$$(zI-J{)}^{-1}=\sum _{j=0}^{k-1}\frac{N^j}{(z-\lambda {)}^{j+1}}.$$

代入 Cauchy 积分定义，留数逐项给出

$$f(J)=\sum _{j=0}^{k-1}\frac{f^{(j)}(\lambda )}{j!}{N}^j.$$

这说明围道积分、Jordan 公式和 Hermite 插值并不是三套无关定义，而是同一个解析函数演算的三种表达。

8. 自检

• [ ] 能证明 $\mathrm{\Phi }(zw)=\mathrm{\Phi }(z)\mathrm{\Phi }(w)$。
• [ ] 能说明实矩阵的非实特征值为何成共轭对出现。
• [ ] 知道 Schur 分解不要求矩阵可对角化。
• [ ] 能说清 Cauchy 积分公式与矩阵函数的联系。
• [ ] 能复述 Schur 分解归纳证明中左下角为何为零。
• [ ] 能由 Jordan 块的预解式解释矩阵函数中的导数项。

下一章：矩阵运算与矩阵微积分。