06 特征值、极小多项式与 Jordan 标准形

1. 特征值是算子不改变方向的倍率

若 $Ax=\lambda x$ 且 $x\ne 0$，则 $\lambda$ 是特征值，$x$ 是特征向量。特征多项式

$$p_A(t)=det(tI-A)$$

记录特征值及其代数重数；特征空间 $\ker (A-\lambda I)$ 的维数是几何重数。总有

$$1\le \text{几何重数}\le \text{代数重数}.$$

矩阵可对角化，当且仅当所有特征空间的维数之和为 $n$。

2. Cayley–Hamilton 与极小多项式

Cayley–Hamilton 定理：

$$p_A(A)=0.$$

极小多项式 $m_A(t)$ 是使 $m_A(A)=0$ 的首一多项式中次数最小者，并且

$$m_A\mid p_A.$$

$A$ 可对角化，当且仅当 $m_A$ 在所在数域上分裂且没有重根。与特征多项式相比，极小多项式更直接记录 Jordan 块的最大尺寸。

3. 广义特征向量与 Jordan 链

不可对角化时，需要满足

$$(A-\lambda I{)}^{k}x=0$$

的广义特征向量。若向量组 $v_1,\dots ,v_k$ 满足

$$(A-\lambda I)v_1=0,(A-\lambda I)v_{j+1}=v_j,$$

它构成一条 Jordan 链。在这组基下，$A$ 的限制表现为 Jordan 块

$$J_k(\lambda )=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right).$$

每个复方阵都相似于若干 Jordan 块的直和。Jordan 形在理论上清晰，但在数值上对扰动敏感，因此计算中通常更偏爱 Schur 分解。

4. Jordan 形能立刻解决什么

写 $J=\lambda I+N$，其中 $N$ 幂零，则

$$J^m=\sum _{j=0}^{k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j}){\lambda }^{m-j}{N}^j.$$

因此矩阵幂不仅由 $|\lambda {|}^m$ 控制，还可能带有多项式因子 $m^j$。同理，解析函数满足

$$f(J_k(\lambda ))=\sum _{j=0}^{k-1}\frac{f^{(j)}(\lambda )}{j!}{N}^j.$$

这说明不可对角化结构为何会让矩阵函数出现导数项。

5. Jordan–Chevalley 分解

在适当数域上，矩阵可唯一写成

$$A=S+N,SN=NS,$$

其中 $S$ 半单（可对角化），$N$ 幂零。它把“伸缩/旋转的谱部分”与“剪切的幂零部分”分开。

6. Gershgorin 圆盘

对 $A=(a_{ij})$，定义第 $i$ 个行圆盘

$$D_i=\{z\in \mathbb{C}:|z-a_{ii}|\le \sum _{j\ne i}|a_{ij}|\}.$$

Gershgorin 定理断言

$$\sigma (A)\subseteq \bigcup _{i=1}^n{D}_i.$$

若干圆盘组成的连通分支若与其余圆盘分离，且该分支包含 $k$ 个圆盘，则其中恰有 $k$ 个特征值（计重数）。它给出快速谱定位，也能用于证明严格对角占优矩阵非奇异：若所有圆盘都不含 $0$，则 $0$ 不是特征值。

7. 用核空间维数恢复 Jordan 块

固定特征值 $\lambda$，令 $N=A-\lambda I$ 在广义特征子空间上作用，并记

$$d_k=\dim \ker N^k,d_0=0.$$

一个长度为 $s$ 的 Jordan 链对 $d_k$ 的贡献是 $min(k,s)$，所以

$$d_k-d_{k-1}=\text{大小至少为 }k\text{ 的 Jordan 块个数}.$$

进而，大小恰为 $k$ 的块数为

$$(d_k-d_{k-1})-(d_{k+1}-d_k)=2d_k-d_{k-1}-d_{k+1}.$$

例如若

$$d_1=2,d_2=4,d_3=5,d_4=5,$$

则至少为 $1,2,3$ 阶的块数依次为 $2,2,1$，所以 Jordan 块大小为 $3$ 和 $2$。这套方法比“猜 Jordan 形再验证”可靠得多。

8. Cayley–Hamilton 的系数比较证明

从伴随矩阵恒等式出发：

$$(tI-A)\mathrm{adj}(tI-A)=p_A(t)I.$$

把 $\mathrm{adj}(tI-A)$ 展开成以 $t$ 为变量的矩阵多项式，再比较各次幂系数，会得到一串关于这些系数矩阵与 $A$ 的递推关系。将关系依次乘上 $A$ 的幂并相加，所有中间项望远镜式消去，最终留下

$$p_A(A)=0.$$

这里不能把“行列式等式中的 $t$ 直接替换为矩阵 $A$”当作证明；真正合法的是先把恒等式视为标量变量 $t$ 的多项式恒等式，再比较系数。

9. Gershgorin 定理的一行核心证明

若 $Ax=\lambda x$，取满足 $|x_i|=\underset{j}{max}|x_j|$ 的指标 $i$。第 $i$ 行给出

$$(\lambda -a_{ii})x_i=\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j.$$

两边取绝对值并除以 $|x_i|>0$：

$$|\lambda -a_{ii}|\le \sum _{j\ne i}|a_{ij}|\frac{|x_j|}{|x_i|}\le \sum _{j\ne i}|a_{ij}|.$$

因此每个特征值至少落在一个行圆盘中。圆盘分支的精确计数结论则可通过连续变形 $A(t)=D+t(A-D)$ 得到：圆盘逐渐张开时，分离分支中的特征值个数不可能跳变。

10. 一个选择顺序

面对谱问题时可以依次问：

1. 矩阵是否 Hermite/正规？若是，直接用酉对角化。
2. 是否只要稳定计算特征值？优先 Schur 分解。
3. 是否要研究幂、极小多项式或精确结构？使用 Jordan 理论。
4. 是否只需粗略定位？先画 Gershgorin 圆盘。

11. 自检

• [ ] 能区分代数重数与几何重数。
• [ ] 能用极小多项式判断可对角化。
• [ ] 能从 Jordan 链写出 Jordan 块。
• [ ] 能用 Gershgorin 圆盘证明严格对角占优矩阵非奇异。
• [ ] 能由 $\dim \ker (A-\lambda I{)}^k$ 的增长恢复 Jordan 块大小。
• [ ] 能指出 Cayley–Hamilton 证明中不能直接“代入矩阵”的原因。

下一章：内积空间与 QR 分解。