05 二次型、合同与正定矩阵

1. 二次型只看对称部分

实二次型写作 $q(x)=x^{T}Ax$。因为

$$x^{T}Ax=x^T\frac{A+A^T}{2}x,$$

反对称部分对二次型没有贡献，所以总可以取 $A=A^T$。复数域中对应对象是 Hermite 型

$$q(x)=x^{\ast }Ax,A=A^{\ast },$$

其值为实数。

2. 合同描述变量替换

令 $x=Cy$，则

$$q(x)=y^{\ast }(C^{\ast }AC)y.$$

因此二次型换坐标对应合同变换 $A\mapsto C^{\ast }AC$，不是相似变换。相似关心线性算子；合同关心二次型的正负结构。

每个 Hermite 矩阵都合同于

$$\mathrm{diag}(I_p,-I_q,0_r).$$

三元组 $(p,q,r)$ 称为惯性。Sylvester 惯性定理断言：惯性在可逆合同变换下不变。

3. 正定性的四种语言

对 Hermite 矩阵 $A$，下列条件等价：

1. $x^{\ast }Ax>0$ 对所有 $x\ne 0$ 成立。
2. 所有特征值均为正。
3. 存在可逆矩阵 $R$ 使 $A=R^{\ast }R$。
4. 所有顺序主子式均为正（Sylvester 判据）。

半正定写作 $A⪰0$，把严格不等式改为非严格。半正定时 $A=B^{\ast }B$ 仍成立，但 $B$ 不必可逆。

4. Cholesky 分解与平方根

若 $A\succ 0$，则存在唯一的下三角矩阵 $L$，其对角元为正且

$$A=L{L}^{\ast }.$$

这就是 Cholesky 分解。若只从谱分解出发，$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{\ast }$，还可以定义唯一的 Hermite 半正定平方根

$$A^{1/2}=Q{\mathrm{\Lambda }}^{1/2}{Q}^{\ast }.$$

二者用途不同：Cholesky 适合求解和数值计算；平方根适合理论变换与矩阵函数。

5. Schur 补

对分块 Hermite 矩阵

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\ast }& C\end{array}\right),$$

若 $A\succ 0$，则

$$M\succ 0⟺C-B^{\ast }{A}^{-1}B\succ 0.$$

$C-B^{\ast }{A}^{-1}B$ 称为关于 $A$ 的 Schur 补。半正定版本需要更仔细地处理可逆性；考试中不要把正定结论直接把 $\succ$ 改成 $⪰$ 就结束。

6. 谱分解与几何

Hermite 矩阵存在酉对角化

$$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{\ast }.$$

于是

$$x^{\ast }Ax=\sum _i{\lambda }_i|q_i^{\ast }x{|}^2.$$

这个式子同时解释了正定判据、惯性和椭球几何：每个特征方向 $q_i$ 上的曲率由 ${\lambda }_i$ 决定。

7. Schur 补来自分块合同消元

若 $A$ 可逆，直接计算可得

$$\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ -B^{\ast }{A}^{-1}& I\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B^{\ast }& C\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I& -A^{-1}B\\ 0& I\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& C-B^{\ast }{A}^{-1}B\end{array}\right).$$

左右两个三角矩阵互为共轭转置，所以这是合同变换。由惯性不变性，$M$ 的正负方向数恰好是 $A$ 与其 Schur 补的正负方向数之和；当 $A\succ 0$ 时，立刻得到第 5 节的正定判据。

半正定版本不能只把 $\succ$ 换成 $⪰$。若 $A⪰0$ 可能奇异，则正确条件是

$$M⪰0⟺\{\begin{array}{l}A⪰0,\\ (I-A{A}^{†})B=0,\\ C-B^{\ast }{A}^{†}B⪰0.\end{array}$$

中间条件等价于 $\mathrm{range}(B)\subseteq \mathrm{range}(A)$，它防止 $B$ 沿 $A$ 的零空间制造负方向。

8. 配方法、惯性与一个完整例子

考虑

$$q(x,y)=x^2+4xy+3y^2.$$

配方得到

$$q=(x+2y{)}^2-y^2.$$

令 $u=x+2y,v=y$，这个可逆变量替换把矩阵

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$$

合同化为 $\mathrm{diag}(1,-1)$。因此惯性为 $(1,1,0)$，二次型不定。这里并未计算特征值；配方法其实就是二次型版本的高斯消元。

9. 正定广义特征值问题

若 $A=A^{\ast }$、$B\succ 0$，广义特征值问题

$$Ax=\lambda Bx$$

可通过 $y=B^{1/2}x$ 化为普通 Hermite 问题

$$B^{-1/2}A{B}^{-1/2}y=\lambda y.$$

因此所有广义特征值为实数，并且不同特征值对应的特征向量关于 $B$-内积

$$⟨x,y{⟩}_B=x^{\ast }By$$

正交。振动、有限元和带权最小二乘中的“质量矩阵”正是这样进入谱问题的。

10. 常见误区

• $A\succ 0$ 必须先有 $A=A^{\ast }$；非 Hermite 矩阵通常不直接谈正定。
• 元素全部为正不推出正定，正定也不要求元素逐项为正。
• $A^{\ast }A⪰0$ 总成立；它正定当且仅当 $A$ 满列秩。
• 合同保持惯性，不保持每个特征值的数值。

11. 自检

• [ ] 能从变量替换推导合同形式。
• [ ] 能列出正定的至少三种等价判据。
• [ ] 能正确写出 Schur 补并说明其可逆前提。
• [ ] 能用谱分解解释二次型的正负方向。
• [ ] 能用分块合同分解推导 Schur 补判据。
• [ ] 知道半正定 Schur 补为何还需要值域条件。

下一章：特征值与 Jordan 标准形。