附录：期末速查与自检

1. 一页公式链

范数与谱

$$\parallel A{\parallel }_2={\sigma }_1(A),\parallel A{\parallel }_F^2=\sum _i{\sigma }_i^2,$$$$\rho (A)\le \parallel A\parallel ,\rho (A)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\parallel A^k{\parallel }^{1/k}.$$

正定与分解

$$A\succ 0⟺{\lambda }_i(A)>0⟺A=R^{\ast }R(R\text{ 可逆}).$$$$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^{\ast }(A=A^{\ast }),$$$$A=U\mathrm{\Sigma }{V}^{\ast }(\text{任意 }A).$$

四个子空间

$$\mathrm{range}(A)=\ker (A^{\ast }{)}^{\perp },\mathrm{range}(A^{\ast })=\ker (A{)}^{\perp }.$$

投影与广义逆

$$P_W=Q{Q}^{\ast },P_W^2=P_W=P_W^{\ast },$$$$A{A}^{†}=P_{\mathrm{range}(A)},A^{†}A=P_{\mathrm{range}(A^{\ast })}.$$

变分与逼近

$${\lambda }_{min}(A)\le \frac{x^{\ast }Ax}{x^{\ast }x}\le {\lambda }_{max}(A),$$$$\underset{\mathrm{rank}(B)\le k}{min}\parallel A-B{\parallel }_2={\sigma }_{k+1}(A).$$

2. 六个高频证明模板

模板 A：把向量展开到标准正交特征基

用于 Rayleigh 商、正定判据、矩阵函数和矩阵幂。写 $x=\sum _i{\alpha }_i{q}_i$ 后，交叉项消失。

模板 B：把矩阵问题向量化

用于 Sylvester/Lyapunov 型方程：

$$\mathrm{vec}(AXB)=(B^T\otimes A)\mathrm{vec}(X).$$

模板 C：先做正交分解

用于最佳逼近、最小二乘与投影。把 $x=w+r$，其中 $w\in W,r\perp W$，再用勾股定理。

模板 D：用极小极大原理比较子空间

用于交错定理、Weyl 不等式与单调性。核心是构造维数足够大的交子空间。

模板 E：相似看谱，合同看符号

遇到换基先判断研究对象：线性算子使用 $P^{-1}AP$；二次型使用 $P^{\ast }AP$。

模板 F：用 SVD 把问题拆成标量

用于广义逆、条件数、低秩逼近和酉不变范数。先把 $A$ 写成 $U\mathrm{\Sigma }{V}^{\ast }$，利用酉变换不改变 2-范数或 Frobenius 范数。

模板 G：用核空间增长读取 Jordan 结构

令 $d_k=\dim \ker (A-\lambda I{)}^k$。差分 $d_k-d_{k-1}$ 是大小至少为 $k$ 的 Jordan 块数，再做一次差分即可得到大小恰为 $k$ 的块数。

模板 H：把长方形矩阵嵌入 Hermite 矩阵

构造

$$\mathcal{H}(A)=\left(\begin{array}{cc}0& A\\ A^{\ast }& 0\end{array}\right),$$

其非零特征值为 $\pm {\sigma }_i(A)$。这样可以把奇异值的变分与扰动问题转化为 Hermite 特征值问题。

3. 最容易丢分的十件事

1. 把 $A^T$ 与 $A^{\ast }$ 混用。
2. 忘记注明所在数域，尤其在讨论特征值和 Jordan 形时。
3. 把几何重数写成大于代数重数。
4. 把“所有特征值非负”用于非 Hermite 矩阵判断半正定。
5. 把合同当成相似，误称合同保持特征值。
6. 在 $AB\ne BA$ 时写 $e^{A+B}=e^A{e}^B$。
7. 默认 $(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$。
8. 把 Frobenius 范数误当作诱导 2-范数。
9. 看到 $\parallel A\parallel >1$ 就断言 Neumann 级数发散。
10. 把元素非负 $A\ge 0$ 与半正定 $A⪰0$ 混为一谈。

4. 30 分钟闭卷自检

不看笔记，依次回答：

1. 写出一个不可对角化矩阵，并给出其极小多项式与 Jordan 形。
2. 证明 $A^{\ast }A⪰0$，并说明何时正定。
3. 从 SVD 推出 $\parallel A{\parallel }_2={\sigma }_1(A)$。
4. 证明最小二乘残差正交于 $\mathrm{range}(A)$。
5. 说明为什么截断 SVD 是最佳低秩逼近。
6. 用 Gershgorin 定理证明一个严格对角占优矩阵可逆。
7. 写出 $e^{t{J}_2(\lambda )}$。
8. 给出行随机矩阵的一个必然特征对。
9. 由一组 $\dim \ker (A-\lambda I{)}^k$ 恢复 Jordan 块大小。
10. 解释不可约随机矩阵为何仍可能因周期性而不收敛。

如果其中三题以上无法在纸上完成，回到对应章节的“自检”再走一遍；如果只是在公式上卡住，优先复习本页第 1 节。

若需要跨章节练习，继续阅读课堂例题与应用。