04 向量空间与线性映射

1. 数域决定允许哪些标量

域 $\mathbb{F}$ 是可以进行加、减、乘、除（除数非零）的标量系统。课程主要使用 $\mathbb{R}$ 与 $\mathbb{C}$。同一个矩阵放在不同数域上，谱性质可能不同：实旋转矩阵在 $\mathbb{R}$ 上没有特征向量，在 $\mathbb{C}$ 上却可以对角化。

域的特征 $\mathrm{char}(\mathbb{F})$ 是使 $1+\cdots +1=0$ 的最小正整数；若不存在则为 $0$。$\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ 的特征均为 $0$。

2. 子空间、和与交

子集 $W\subseteq V$ 是子空间，当且仅当它对线性组合封闭。两个子空间的和为

$$U+W=\{u+w:u\in U,w\in W\}.$$

有限维情形有维数公式

$$\dim (U+W)+\dim (U\cap W)=\dim U+\dim W.$$

若 $U\cap W=\{0\}$，写作 $U\oplus W$；这表示每个向量的分解是唯一的。

3. 线性映射的核与像

对线性映射 $T:V\to W$，定义

$$\ker T=\{x:T(x)=0\},\mathrm{range}T=\{T(x):x\in V\}.$$

秩-零化度定理是最重要的记账公式：

$$\mathrm{rank}T+\mathrm{nullity}T=\dim V.$$

它说明定义域的自由度被分成两部分：被映射保留下来的方向，以及被压到零的方向。

4. 矩阵表示与换基

选定 $V,W$ 的基后，线性映射 $T:V\to W$ 由矩阵 $A$ 表示。若定义域和陪域分别换基，表示矩阵变成

$$A⟼P^{-1}AQ.$$

若 $T:V\to V$ 且定义域、陪域同步换基，就得到相似变换 $A\mapsto P^{-1}AP$。相似矩阵代表同一个线性算子，因此有相同的特征多项式、特征值与极小多项式。

任意秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵都可通过左右可逆变换化为

$$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

等价地，存在满列秩 $X\in {\mathbb{F}}^{m\times r}$ 与满行秩 $Y\in {\mathbb{F}}^{r\times n}$ 使 $A=XY$，称为满秩分解。

5. 逆映射与商空间

$T$ 可逆等价于 $T$ 同时单射和满射。有限维且 $\dim V=\dim W$ 时，只检查其中一个即可。

商空间 $V/U$ 把相差一个 $U$ 中向量的元素视作同一类。若 $U\subseteq V$，则

$$\dim (V/U)=\dim V-\dim U.$$

第一同构定理把核和像连起来：

$$V/\ker T\cong \mathrm{range}T.$$

6. 低秩更新：Sherman–Morrison–Woodbury

若相关逆矩阵存在，则

$$(A+U{V}^T{)}^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+V^T{A}^{-1}U{)}^{-1}{V}^T{A}^{-1}.$$

当 $U=u,V=v$ 时得到秩一版本

$$(A+u{v}^T{)}^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}u{v}^T{A}^{-1}}{1+v^T{A}^{-1}u}.$$

它的价值在于把一个 $n\times n$ 新逆问题，缩减为对较小矩阵 $I+V^T{A}^{-1}U$ 求逆。使用前必须检查分母或小矩阵可逆，而不是机械套公式。

7. 线性算子的应用视角

• 微分算子把微分方程写成算子多项式。
• 图的邻接矩阵把路径计数写成矩阵幂。
• 低秩修正刻画“只改变少数方向”的模型更新。

共同方法是：先找到合适的空间和算子，再选择基把问题交给矩阵。

8. 不变子空间就是分块上三角结构

若 $U\subseteq V$ 对 $T$ 不变，即 $T(U)\subseteq U$，先取 $U$ 的基 $u_1,\dots ,u_r$，再扩充为 $V$ 的基。在这组基下，$T$ 的矩阵必有形式

$$[T]=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right).$$

左下角为零，是因为 $T(u_j)$ 仍能由前 $r$ 个基向量表示。$A$ 描述 $T$ 在 $U$ 上的限制，$C$ 则描述 $T$ 在商空间 $V/U$ 上诱导的算子。特征多项式因此分解为

$$p_T(t)=p_A(t)p_C(t).$$

Schur 分解、Jordan 分解和很多递归证明，本质上都在反复使用这一观察。

9. 第一同构定理的可计算例子

考虑 $T:{\mathcal{P}}_2\to {\mathcal{P}}_1$，$T(p)=p^{\prime }$。有

$$\ker T=\mathrm{span}\{1\},\mathrm{range}T={\mathcal{P}}_1.$$

商空间中的元素不是一个多项式，而是相差常数的整类多项式：

$$[p]=p+\mathrm{span}\{1\}.$$

映射 $[p]\mapsto p^{\prime }$ 良定义且可逆，因此

$${\mathcal{P}}_2/\mathrm{span}\{1\}\cong {\mathcal{P}}_1.$$

维数关系 $3-1=2$ 只是这一结构同构的数值影子。

10. Woodbury 公式从一个小恒等式推出

先验证

$$(I+XY{)}^{-1}=I-X(I+YX{)}^{-1}Y,$$

方法是把右侧与 $I+XY$ 相乘并化简。再写

$$A+U{V}^T=A(I+A^{-1}U{V}^T),$$

取 $X=A^{-1}U$、$Y=V^T$，便得到 Woodbury 公式。这个推导同时说明了为何只需求逆较小的 $I+V^T{A}^{-1}U$。

三种变换应始终分清：左右分别换基得到矩阵等价 $P^{-1}AQ$，同一算子同步换基得到相似 $P^{-1}AP$，二次型换变量得到合同 $P^{\ast }AP$。它们保留的不变量依次是秩、谱结构和惯性。

11. 自检

• [ ] 能证明维数公式并判断一个和是否为直和。
• [ ] 能由核与像解释秩-零化度定理。
• [ ] 能区分矩阵等价与矩阵相似。
• [ ] 套 Woodbury 公式前会检查所有维数和可逆条件。
• [ ] 能由不变子空间写出分块上三角表示。
• [ ] 能用导数算子解释第一同构定理。

下一章：二次型与正定矩阵。